到不在同一直线上的三点距离相等的集合定理
定理23：到不在同一直线上的三点距离相等的集合是过三点形成的三角形的外心，并垂直于该面的直线。
附：该定理对于找球心的问题是很有帮助的
示意图：（直线l过外心O且垂直于平面ABC）
通过这一简单的结论，我们可以秒杀一些习题中有关球心的题目，只需要背下这个公式，即可做到秒杀该类型的题目，大大缩短了做题时间。
我们先证明一下这个公式：
在平面内到两定点距离相等的点的集合是线段的垂直平分线，那么我们升级到空间的尺度；在空间中到两定点距离相等的点的集合是线段的垂直平分面。
在下面给出的示意图中，到AB两点距离相等的点是AB的垂直平分线l1，到BC两点距离相等的点是BC的垂直平分线l2，两条垂直平分线的交点即为三角形ABC的外心。
同样我们上升到空间中，因为到AB两定点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分面α，到BC两定点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分面β。由于两垂直平分面均垂直于底面，所以两垂直平分面的交线l也垂直于底面；由于在平面中两条垂直平分线的交点即为三角形ABC的外心，因此两面交线l在底面的投影点即是三角形ABC外心。
故两垂直平分面的交线l即为过ABC三点形成的三角形的外心，并垂直于该面的直线
3. 实战演示
接下来，我们用一道例题来展示一下这个公式的简便性与实用性。
【直接记住结论解题】
首先运用数学三招中的盯住目标，我们的目标是球的表面积，联想相关公式，我们的目标转化为求球的半径；再结合已知我们可以得出，我们要确定球心O的位置才能得出半径R
运用我们给出的定理，对于三角形BCD，到此三点距离相等的点的集合为过BCD三点形成的三角形的外心O1，并垂直于该面的直线。
上面的解题过程可谓是“神速”显然我们直接记住这个结论，几乎是秒杀有关球心的题目，如果利用好这个公式，我们几乎不需要思考，即可迅速解出答案！
定理23：到不在同一直线上的三点距离相等的集合是过三点形成的三角形的外心，并垂直于该面的直线。
大家记住了吗？
作者：李泽宇数学老师
来源：知乎
