自由推理探索认知之旅:数学的本质与宇宙万物的关联

以数学为主线和切入点,进行一次思想和思维上的——自由推理探索认知之旅,并将会透过一种奇妙有趣的视角和观点,窥见一个我们所熟悉又有所不同的世界、万物、万事万物,及我们的宇宙。

作者:scott.cgi

以数学为主线和切入点,进行一次思想和思维上的——自由推理探索认知之旅,并将会透过一种奇妙有趣的视角和观点,窥见一个我们所熟悉又有所不同的世界、万物、万事万物,及我们的宇宙。

主题目录如下:

  • 什么是数学
  • 结构和数据
  • 数学与直觉
  • 直觉主义与形式主义
  • 矛盾性
  • 矛盾与智能
  • 结构、关系与信息
  • 结构、信息与比特
  • 结构、数据与信息
  • 比特数的映射
  • 实数基数与我们的认知
  • 数学与物理
  • 物理之于数学
  • 对称性破缺
  • 结构的定义与意义
  • 结构、几何与代数
  • 数学的本质
  • 万物皆比特
  • 再看几何:突破三维屏障
  • 从程序看待数学
  • 结构与熵的关联性
  • 万物的本质
  • One More Thing:逻辑
  • 结语
  • 后记

现在,就让我们开始这次认知探索的旅程吧。

深刻的见解,就隐藏在深渊之中,而这是环境信息(即宇宙整体)的自我(随机)表达。

什么是数学

数学是,结构(存在数量)和关系(存在变化)的描述,以及验证(结构和关系)的过程和方法。

至于逻辑,更像是结构和关系所固有特点,即:逻辑是顺着结构所看到的关系,而抽象就是寻找结构和关系的手段。所以,数学是通过抽象的手段,剥离去除一切无意义的具体,只留下单纯的结构和关系,并探索其中的逻辑因果。

这里需要定下一个锚点,就是逻辑是数学研究的结果——这对学习数学至关重要(因为逻辑是结构和关系所固有的),但它不是数学研究过程的关键——因为探索过程强依赖的是直觉(即用直觉发现或发明路径),而直觉有时候恰恰就是“反逻辑”的(即反局部逻辑,顺整体逻辑)。

那么,数学发展到今天,庞大而巨细、分支繁杂又艰深,但抽象来看就3个方面:

  1. 数的结构和关系(即代数结构的定义,和对代数关系的描述)。
  2. 形的结构和关系(即几何结构的定义,和对几何关系的描述)。
  3. 对结构(数与形)和关系(因与果),研究验证的过程和方法。

几何,也可以看成是图、或图形,其性质源于图形结构,其内在的空间关系。
图,本身是示意或描绘的意思;图形,就是示意或描绘形状的意思;因此,用一个字来对应几何,形比图更切合。
那么,数与形,也可以说成是,数字与图形。

同时,数学也像一个游戏,在自洽的游戏规则内,随意进行思维的玩耍,即:从公理出发,进行必要的定义,然后进行严谨的推导论证,得出结论(即定理),接着经过确认过的结论(不能与之前的结论相矛盾),又可以加入以后的推导过程中作为基础,如此反复,这就像一个游戏,但目的和终点不得而知,只是结论越来越多,格局越来越大。

显然,数学的每一步推理,每一个结论,都是后续的基石,其具有永真与保真性,而由此构建的系统与体系,就具有有了无与伦比的坚实性与正确性。

那么,这套游戏玩法,就被称为公理方法,其圈定的越来越庞大的游戏(领域)范围,则被称为公理体系——其中,自洽的游戏规则,需要遵从4大基本原则:

  • 相容性——就是结论本身和之间不能出现矛盾。
  • 完备性——就是任何结论都必须可以由公理推导得出。
  • 独立性——就是公理不依赖于其它公理的逻辑推论。
  • 可判定性——就是存在一个判定过程可以确定结论的可证明性(希尔伯特引入)。

事实上,这套公理游戏,最早可以追溯到欧几里得的时代,并且几何学就是这种游戏演绎的一个典型代表。

公理选择原则——尽量少、足够简单、并且直观上明显合理。事实上,抛开哲学因素和对最基本原理的探究,公理方法是剖析各种事实之间的相互联系,以及展示结构基本逻辑关系的最自然方法。

那么,在很久很久以前——公理体系还没有诞生的时候,数学最初是起源于生活的具体的,那时候还不叫数学,只是一种简单的测量计数工具。

例如,“几何”的英文——Geometry,其源于希腊语,由“土地”的词根——geo和“测量”——metry一词合并而成,顾名思义,几何最初代表的就是对土地的测量。

例如,自然数最初,就是源于对具体事物的计数,但从有理数开始就脱离了现实,变成了人为的创造与抽象。

而发展至今,数学已经完全变成了纯思维的活动,完全脱离了现实,可以说这体现了人类抽象思维和逻辑推理能力的进化——也就是智能的进化。

并且现代数学,也从公理体系过渡到了新的玩法,就是计算与构造,即:计算验证结构的关系,关系启发结构的构造,构造产生新的计算,如此迭代,不断(随机)产生新的结构和关系

康托尔对实数不可数的证明,就是一个令人拍案叫绝的——“刻意构造”,即:构造对角线证明法。

那么,数学试图去发现所有的结构和关系,这是一种描述行为。所以,数学可以说是一种描述物质的物质,就像是一种——元数据和元语言,其描述的就是物质结构和关系所固有的逻辑。

这里,有一个形象又有趣的类比:

“事实上,基因并不会衰老,基因只是一串排列组合的信息(结构与关系),相反存在越久远的基因,就越会存在更长的时间。衰老的是上层结构,基因是信息,描述了上层结构。基因指导了结构的复制,结构复制结构就会把基因传递下去,这是基因的生存之道。而结构的复制错误就是衰老的原因,并且会反作用于基因。”

那么,基因就像是数学,描述了结构的关系(即规律),而基因本身则是更基本结构的排列组合——是数据存储了信息。

结构和数据

结构和数据之间,存在一种可以相互转化的关系,数据是传递信息的结构,而结构可以吸收数据所传递的信息(即吸收结构),形成新的结构,从而不断地变化(即传递出新的信息)

而思维——正是数据在(脑神经元网络)结构中流动、吸收、重组、以及随机自由组合过程的产物。

那么,人们以为自己的想法,是源于自身大脑独立的产生。但其实,任何想法思维都需要数据的参与和构成,而数据是来自外部环境的。

可见,所有的想法都只是环境信息的表达,而数学作为思维的产物,所做的所有探索和发现,以及严谨的推理论证,都只是环境信息中结构和关系的呈现。

首先,大脑能想到的,都一定对应物质实现的信息排列组合。因为大脑思维的数据来自环境,大脑只是把通过感官(视觉、听觉、触觉、味觉等)接受的数据,自由组合起来。

比如做梦,其实就是把白天接受的信息(包括潜意识捕捉的信息),与过去记忆中的信息,进行的随机自由组合。

所以,梦里无法出现完全没接触的事物,因为还没有相关的信息,但可以自由组合已有的信息,创造出现实里不存在的事物,也会因为信息的随机组合性,而创造出怪诞的事物和荒诞的行为。

就像,梦里无法出现没见过的人脸,而出现的陌生脸,一般都是在白天主观意识没察觉到的时候,眼睛所捕捉到的人脸信息,亦或是随机组合了记忆中不同人的五官,所形成的人脸信息。

达芬奇在笔记中曾写到:若要让想象中的动物看起来自然真实,譬如龙,你可以参照獒犬或者猎犬的头、猫的眼睛、豪猪的耳朵、灰狗的鼻子、狮子的眉毛、公鸡的太阳穴和乌龟的脖子”。

其次,大脑运行的原理和规则,是宇宙规律的一部分和缩影(分形构建)。所以,大脑想象力的产物,终究会在不同的时间点以不同的形式,在现实(物质)世界中实现。

比如,人类想象着飞翔,最终就发明了飞机。又如,点石成金,虽然炼金术师无法完成——因为炼金术师只掌握了化学手段,而化学变化并不能改变原子种类(化学变化,元素不变,只是吸热放热的能量变化)——但未来通过掌握核聚变技术(核合成),就可以改变原子种类,即:改变原子序数(质子数或电子数)和原子质量数(质子和中子总数),从而完成点石成金的转变。事实上,恒星——比如太阳,其内部就无时无刻不在进行着核聚变反应——创造出各种不同的元素。

而由科技发展史可见,工业技术堪比魔法,甚至可以说,工业技术就是魔法,其中工业技术依靠科学,魔法依靠想象力,但最后,工业技术和魔法都依靠,在大脑里进行的数据组合与信息处理。

那么,有一种观点,认为数学只是由一堆公理和定义推理演绎出来的结论,并且公理(这是游戏系统的根基)选择具有任意性,只要没有矛盾,就可以任凭数学家的自由意志随意创造。

这就相当于把数学,架空到一个虚拟的游戏世界,沉浸式的体验,只要合理逻辑自洽,就可以让人无法分辨虚拟与现实的区别。于是,数学家的自由意志——随机又虚幻,这似乎是对追求、目的和意义的全盘否定。

但无论是谁的自由意志,其产生原因的背后都需要数据,因为无论是结构化知识的积累,还是灵感直觉的探索,亦或是进行逻辑推理与归纳,都无法脱离数据独立完成。

而数据——最终都是来自于环境信息的,那么数学家,就像一个过滤器,不断地从环境信息中观察和总结,并通过逻辑性的推理演绎,提取出数据中内在结构关系,最后使用数学语言,对这个过程和结果进行描述和表达。

数学与直觉

事实上,人类的直觉——就是潜意识的计算。因为在主观意识之外,大脑时刻在利用历史积累的数据,进行信息自由排列组合,以不断计算出模拟预测的结果。

而直觉——对于数学研究,有着无与伦比又难以想象的至关重要。

例如,柯朗(Richard Courant)在《什么是数学》一书中,就曾说道:

“数学家在直觉指引下的构造性思维,其实就是数学动力的真正源泉。数学家的构造性直觉,给数学带来了一个非演绎且非理性的要素,这是可以和音乐与艺术相比拟的。”

类似的,数学大师——阿兰·孔涅(Alain Connes)也曾说道:

“简而言之,在数学发现当中,有着两个时间阶段:在第一个阶段,还无法以推理的方式,用公式化语言来明确表达出直觉,而在这个阶段,重要的就是直觉。直觉这个东西,有点像是受到灵感驱使而得到的,不服从某些确定性,如同一种诗歌性质的有趣东西。显然直觉,并不是静态的逻辑,而是一种诗情澎湃的境界。”

又如,印度数学奇才——拉马努金,“他有着很强的直觉洞察力(数感),惯以直觉(或者是跳步)导出公式,不喜作证明(事后往往证明他是对的),虽未受过严格数学训练,却能独立发现了近3900个数学公式和命题。他经常宣称在梦中,娜玛卡尔女神给其启示,早晨醒来就能写下不少数学公式和命题。他所预见的数学命题,日后有许多得到了证实。”

而纵观整个数学成就的发展史,在一个重大数学进展中,直觉的重要性要远远大于逻辑,关键突破总是来自稍纵即逝的——由直觉带来的灵感,而凭借直觉反复的“显灵”,就能够逐渐获得对(复杂性)结构的感知、探索与掌控。

并且,是在结构的计算构造之后,逻辑才开始显现出让人感到信服的美好。而在此之前,则是由直觉所主导的“反逻辑”,在突破重重原有的“逻辑枷锁”。可见,对结构的计算构造,是强依赖于——对某种合适与实用性兼具的直觉

那么,在另一个层面,如果没有正确的直觉,来引导“合理”的提问与问出“正确”的问题,这将永远无法引出那条——指向至关重要且必然又必须的那个“超级问题”的路径接下来,就更不会有那个,超级天赋的携带者,最终解决“超级问题”的结局,以及获得可以推动一切发展的构造,即:结构与关系。

所以,直觉,就是数学不可或缺的第一推动力——如果没有直觉,就没有数学的道路与未来,而逻辑更大的作用,是给后人来学习以积累信息用的。

如此,对应数学的结构和关系,就有两种数学直觉,即:数字直觉几何直觉,或称,数觉数感几何洞见——前者关系到了计算(关系),后者关系到了构造(结构)。

那么,我们如何才能获得,强大到惊为天人的直觉呢?

显然,后天的积累训练是必不可少的一步,然而最重要的还是——数学天赋,没有天赋,不仅仅是寸步难行,而是无路可行。

所以,天赋永远是数学研究的第一要素,并且就连估算自己有没有数学天赋,本身也是一种天赋——虽然这有些不讲道理,但这就是数学现实

这里需要注意的是:数学天赋所激发的直觉,是数学研究的必须,而不是数学学习和应用的必要,这两者有本质的不同。

  • 数学研究——是数学规律的探索和证明,这需要极其少数的天赋携带者,才有可能获得突破。
  • 数学学习和应用——是任何人都可以参与其中,并有所收获的。

例如,篮球是任何人,都可以热爱喜爱并参与其中的,而只有篮球之神——迈克尔·乔丹,才能在他那个时代,将篮球(运动与文化)带到一个前所未有的高度(其它领域同理)。

最后,数学天赋带来了(学习)速度与(创造)深度,并且深度是远远比速度重要的。因为,只有学习,而没有超越已有的创造,则就没有输出任何(对人类)有意义的价值。但往往学习速度是天赋的一个明显标识,而创造深度则是在有一定积累过后,由先天与后天因素共同塑造的大脑结构所决定的。

直觉主义与形式主义

对于数学本质基础的认知讨论,有两大派系:一个是直觉主义,一个是形式主义

其中,直觉主义认为人的直觉是应对着现实对象的(或说是来自于现实),所以数学的命题是在描述客观的实体,那么就必定没有相容性,即矛盾的问题。

因为现实不会存在矛盾之物,并且只认可构造性的性质,即给出结构性证明,那么反证法则不属于这个范畴,因为反证法其过程没有结构,只有矛盾。

而形式主义,不在乎数学与现实的关系(认可人类思维的虚构创造与现实不对应),只专注于公理之上的逻辑演绎,即形式逻辑程序。其严格要求,不能引入矛盾,无论使用什么方法都行——重要的是自洽没有矛盾,所以与直觉主义不同,反证法也会被认可。

但实际上,这种要求在概念严格封闭的系统中,证明相容性与完备性是不可能的,比如集合论悖论——这像极了,封闭系统无法维持有序,必须注入引入外部能量,才能维持局部有序的形式。

例如,集合悖论:有一个集合,它由那些不包含自身的集合构成,那么它是否包含自身?

  • 如果包含,那么命题要求,它不包含自身。
  • 如果不包含,它就是不包含自身的集合,那么命题要求,它包含自身。

例如,理发师悖论:如果一个理发师,只给所有不给自己刮胡子的人,刮胡子,那么谁来给他刮胡子?

  • 如果理发师给自己刮胡子,但命题要求,他不能给“自己刮胡子”的人刮胡子。
  • 如果理发师让别人给自己刮胡子,那么他就是不给自己刮胡子的人,命题要求他给自己刮胡子。

例如,说谎者悖论:我说的这句话是谎话。

  • 如果命题为真,那么命题的语义,要求命题是谎话。
  • 如果命题为假,那么命题的语义,要求命题是真话。

罗素认为,这种悖论的原因,是命题包含自身所导致(即自指),如果去掉自我指涉,悖论就会消失。因此,自指就是造就矛盾的一个根本因素。

那么,有趣的是,直觉主义和形式主义的这些思考和讨论,都是在构造性的、直觉模式的指引下产生的,这意味着他们在相互渗透彼此,并且他们共同点,就是极力的在排除矛盾。

矛盾性

那么,我们就要问了,为什么无论是在虚幻的思维,还是坚硬的现实之中,都不应该出现矛盾呢?

显然是因为,矛盾的状态,不能同时出现在同一事物上,但矛盾的状态,在一定条件下是可以相互转化的,这也是事物的对立统一性。

于是,同一事物在不同时间,或是不同事物在同一时间,就可以展现出矛盾性。那么,时间跨度越短、事物越少,就是越局部——矛盾就越少,反之时间跨度越长、事物越多,就是越整体——矛盾就越多。

可见,矛盾性在整体,代表状态的转化,在局部,就会随着状态减少而减少,直到在某个局部,无法再存在矛盾的现实。

最后,矛盾性时常存在于现实生活中,有以下几点原因:

  • 第一,不同角度看事物,有不同的答案。
  • 第二,矛盾可以转化,但在某个条件下,只能看到一个转化状态的快照。
  • 第三,认知偏差,人只会相信自己愿意相信的,无视全局与未知的未知。
  • 第四,时间变量,同样的行为,在不同的时间点,和积累时间下,会有不同的结果。
  • 第五,信息扭曲。

矛盾与智能

有趣的是,人脑所构建的——智能,是可以存在矛盾的,也就是说矛盾的概念或想法,是可以在人脑智能中所共存的,甚至智能还能理解这种矛盾性。

例如,在利益相关时,双标的普遍性,就会让人在同一件事情上,对人对己产生截然相反的矛盾态度和观念。

如前所述,矛盾性之所以会出现在,我们的观念之中,就是因为——微观局部来看是没有矛盾的(被隐藏),宏观整体来看矛盾就出现了——而我们基因所构建的本能与智能,往往(也只能)根据不完整的局部数据,来进行推理判断。

于是,人脑智能处理矛盾的方式,有两种:

  • 第一,通过掌握自然规律,上升到整体视角,去化解矛盾(否则根本看不到矛盾)。
  • 第二,通过分层,下降到局部视角,显然在每个局部层,更容易保持不矛盾(虽然在整体上可能是矛盾的)。

那么第二点,对应到我们的观念行为之中,就是我们把矛盾的事物割裂开来,放置到不同的情景、时间、上下文中单独理解体会(过程充满了自我说服),然后得出一个在局部完全没有矛盾的结论,最后执行这些狭窄视角下的“合理行为”——但事实上,在整体跨越时间和场景的视角下,这些“合理行为”,其实充满了矛盾性(这并不会立竿见影的影响生存)。

例如,一个人可以,喜欢吃苹果超过橙子,喜欢成吃橙子超过橘子,但喜欢吃橘子超过苹果。

例如, ​​​​一个人可以,既相信死后可以上天堂“享福”,又可以特别害怕死亡去“享福”。 ​​​​

另外可见,局部——是可以解决矛盾的,甚至还可以解决很多的问题。而有一个概念,对硬件和软件、系统设计和性能,都有着极大的影响——那就是局部性,程序应该倾向于创造和使用临近的数据——显然这不仅有速度性,当然还有(局部的)正确性。 ​​​​

结构、关系与信息

关系是与结构绑定的不可分割的,是对结构从某个视角观察的结果,并且这个角度看到的是可以被观察者所理解和可感知的。这里的可感知,即是可以被人体的感觉系统(如视觉、听觉、触觉等)所处理的。

那么就肯定会存在,有些(甚至是大部分)结构的排列组合,所呈现出来的关系,是无法被理解和可感知的。而从不同的角度去观察相同的结构,也会得到不同的关系。

那我们如何去表达、描述、甚至是传递这个关系呢?这就是信息。所以,信息描述了关系,就是描述了结构,在观察者看来结构是什么,自然就是信息的排列组合,这其实就是在描述结构——通过关系来描述结构。

而信息的载体也是一种结构,那么也就可以被其它信息所描述,所以信息是一种描述性结构。就像一段文字数据,传递了信息,这个信息描述的可能是另外一个结构(事物),而对这段文字的翻译或是解释,就是描述信息的信息,同样也是一个结构。

可见,数据本身的结构,所呈现的关系也是信息,并且从不同的角度去解析数据,就会看到不同的关系,从而得到不同的信息。而数据这个结构的主要功能就是传递信息,其载体和形式并不重要,重要的是其组成结构的排列组合,所形成的关系,即信息。

所以,传递信息就是在传递结构,而结构可以吸收信息(来自数据的信息),其实就是在吸收结构(来自数据的结构),从而可以形成新的结构,传递出新的信息。 ​​​​

因此,有时候换个角度看问题——就会恍然大悟,就会豁然开朗,就会迎刃而解,也会得到全新的答案——这就是因为不同的角度,让我们获得了有关结构关系的更多信息。

结构、信息与比特

那么关于结构和信息,其实还有着更为深层次的联系。不可再分最基本的物质是什么?重点是不可再分,不考虑物理的限制,不要在乎物质的属性,无限小的是什么?——那就是比特,信息量的基本单位,代表着最小信息结构。

因为物质是由更小的物质所(递归)构成,最小的物质,拥有最小的结构,最小的物质结构对应的——就是最小的信息结构,即0和1。

事实上,物质的属性,是由构成物质结构的数量排列组合所决定的,但这个属性需要通过结构所传递的信息来感知。

而物质,由宏观到微观的变化过程:就是构成物质结构不断减少,信息不断丢失的过程。物质不断的分割到粒子层面,再不断的分割,就会不断丢失结构和信息,就会不断丢失特性。到一定程度就难以测量——变成概率。那么,如果再继续分割(不考虑实际技术工具的限制),最后只有一个基本结构,对应了一个比特信息,此时只有一个属性——要么是0,要么是1,成为了概率。

另外,我们可以把信息理解为,人类可以理解的关系。

那么显然,有结构就会有关系,而基本信息比特,就是描述了基本结构的关系——就是随机的0或1。所以,比特描述的关系,就是基本结构自身的变化(自身与自身的关系),是一种无法被理解的关系,相当于没有信息,也没有可观测的结构。

而如果基本结构没有变化,比特描述的关系就是全0、或全1,这就是所有一切的开始与结束——代表着宇宙的起点(比特全0)与终点(比特全1)。

结构、数据与信息

从前面的论述可知,结构与数据可以相互转化,关系是从结构或是数据中,提取的信息。信息表达、描述、传递了结构和数据中的关系,代表着人类可以理解的关系。

显然,结构和数据中,存在着冗余信息和无效信息——也就是信息噪声,并且这些信息噪声并不能计入信息量。

不过,信息噪声是一个相对的概念,因为不同的人拥有不同的信息积累,那么同样的信息噪声对不同的人,就可能会有着相对的信息量。就像相同的数据,在有些人看来全是噪声——没有任何未知的信息,但对另一些人来说——却可能全是未知的信息。

而有时,数据拥有未知信息——也就是有信息量,但这些信息“没有用处”——就是包含有一定比例的错误,或是知道与不知道并没有什么影响,那么我们也可以认为,这些有信息量的未知信息——也是信息噪声。

由此可见,对于结构或是数据,其中有没有信息、以及有多少信息,这依赖于已有的结构——也就是信息积累,能不能够识别和处理,这些传递的结构和数据。

那么显然,我们大脑的神经网络结构,就是已有的信息积累——代表着一个人所拥有的知识;而人类所创造的一切,就是人类文明的信息积累——代表着人类物种所拥有的知识。

因此,这些信息积累,就决定了我们对未知结构和数据的识别与处理,即代表着我们对未知的探索和对自身的改进。

但有时,就算有了大量数据,也不一定就能够得到,有效的结论或真相,因为这些大数据,从不同的角度来看,就会得到完全不一样的结论或真相。

这时候,不是我们的数据不对、逻辑不对,或分析不对,而是角度不对,即:在错误的数据角度上,应用了正确的逻辑分析,结果依然无效。

数学与物理

物理研究的是物质的结构和属性,及其相互作用,其中相互作用是通过某种关系来呈现的,也就是自然规律,可以用数学函数来描述。

所有方程都是函数,如果在不违反康托尔连续统(即实数)结构的条件下,函数基本可以和方程看成等价。

而数学抽象的是结构和关系,这个关系在于结构之间和结构内部的固有逻辑,也可以用数学函数来描述表达,并且其中有部分关系映射了物理规律,还有部分并不对应具体的现实。

注:这里的物质属性,表达的是一个更加抽象的视角,可以理解为物质特征的总和。比如物质的运动,就可以算是一种运动属性,是物质受到力的作用后,所表现出来的一种特征,表征了物质的一种状态。

那么对于函数,其实是一种计算——是一个量到另一个量的计算,数学更关注计算——这是关系(体现逻辑),物理则更关注量本身——这是结构(体现属性)。

而量与计算的过程,即是结构所呈现的关系,通过其固有的逻辑,被发现总结的过程,也就是数学和物理的研究过程。

综上可见,物理和数学的研究对象其实都是结构,其中物理的结构是客观存在,而数学的结构则是抽象逻辑映射。

但所有结构,都是由更基本的结构排列组合所形成的,我们姑且把更基本的结构,称之为基本结构(这里结构形成了分形递归构造)。

那么,是基本结构的排列组合形成了可观测的属性,形成了结构内部与外部的抽象关系,这就是物理和数学在共同的结构之上,所进行的不同方向的演绎和研究。

所以显然,无论是物理还是数学,都会对结构进行观察和分析,接着我们必然就会看到基本结构之间的关系,而关系是通过信息来描述的。那么现在,我们就可以把上面的基本结构替换为——信息,所以就是信息构成了一切。

再结合前面的结论,信息的基本结构是比特,是随机的0或1,是概率,这也就解释了为什么在微观的量子世界中,无处不在的是概率与随机。

那么,关于微观与宏观的演变与构造:

如果从物理角度来看,其实连接微观与宏观的是——普朗克常量。因为有两个公式,E = hv 和 P = h / λ,其中——E是能量、P是动量、h是普朗克常量、v是频率、λ是波长。而E、P是宏观物理量,v、λ是宏观可测量,h则是微观量子化特质。

由公式可见,粒子都具有波粒二象性,其中波长和频率代表着粒子宏观波的性质,普朗克常量则代表着微观量子化的粒子性。

并且普朗克常量,同时也关联着粒子的不确定性——∆x * ∆P ≥ h / 4π,即是:位置变化量(粒子位置的不确定性)* 动量变化量(粒子速度的不确定性 * 粒子质量) ≥ 普朗克常量 / 四倍圆周率常数。

而粒子在微观的不确定性,在宏观上表现出的就是统计概率。可见普朗克常量其实就是,连接了微观与宏观的不确定性与概率。(具体参看主题相关文章[1])

那么,再从数学角度来看,普朗克常量必定代表着某种可观测极限下的结构信息。常量之所以是常量,均代表着观测中,物质结构在某个角度下,所呈现的特定信息。所以普朗克常量代表的信息,必定会受限于人类的观测手段和能力。

但数学可以抛开实验和测量,抵达到抽象的极限。

试想,是无法测量的基本结构,构建了上层可测量的基本粒子,而基本结构对应的信息描述就是比特(0或1),于是基本结构组合出的基本粒子,其信息是可以由比特信息所描述的。

那么,可观测的物理数值,最自然直接的信息描述方式,就是使用二进制的比特。而为什么有些物理常量,是无法精确表示的无理数——比如√2(根号2),或是超越数——比如π(圆周率)和e(自然常数)?

超越数——指不是代数的数(即不是任何代数方程的解),且无限不循环的数。

或许就是因为二进制信息描述,转化为十进制信息描述的过程中,会有精度丢失的问题。就像π的二进制形式是一个正规数,√2也是一个正规数,e可能是一个正规数。

正规数(Normal Number)——是数字显示出随机分布,且每个数字出现机会均等的实数。其中数字,指的是小数点前有限个数字(整数部份),以及小数点后无穷数字序列(分数部份)。

所以,这表明了π的二进制表达,其实描述的就是——微观比特所呈现的随机概率,而这就是某种精确,只不过是以人类还无法理解的不确定性信息,来呈现的。

事实上,在微观物理上,基本粒子——比如电子和夸克,都无法描述其内部的结构,最终都被视为了质点或是点粒子——没有体积,但它们都拥有数学上的构造,即:抽象结构

而物理从人们触手可及的现实世界出发——观察总结、实验计算,直到隐藏在世界背后的规律——被符号化、抽象化到一定程度的时候,就仅仅只剩下了,数学逻辑模型上的推理和探索。

由此可见,在微观,在抽象之地,数学与物理必然是统一的,因为物质背后的本质(基本)结构,必然是统一的。只不过,物理只提供现实,而数学的抽象结构,则必须源于其自身——形成闭环。

物理学家——保罗·狄拉克,曾说:“具有数学之美的理论,更有可能是正确的,而不是与一些实验数据相符合的丑陋理论。”

比特数的映射

比特数,即是二进制数,也就是由0和1构成的数。

事实上,[0, 1]之间的实数,可以与大于1的实数,存在一一对应的关系——只要把每个数用1除,就可以将其映射到[0, 1]之间。

例如,2对应了1/2,4对应1/4,10对应1/10,1000对应1/1000……等等。

这意味着,[0, 1]之间的某些实数性质,可以用于所有实数——图灵与康托尔在论文中,都运用了这个概念。

同时,在[0, 1]之间的实数,是可以与0和1组成的比特数一一对应的。

因为,[0, 1]之间的实数,可以看成是小数点后——任意自然数序列的组合(如0.12345……),而每个自然数是否出现在“自然数序列”之中(如12345),是可以用0或1来表示的,即:0不出现,1出现。这样,每一个[0, 1]之间的实数,就对应了一个比特数。

例如,{1, 2}对应的[0, 1]实数是——{0.0, 0.1, 0.2, 0.12}(我们把0.21归入{2, 1}之中),那么{1, 2}对应的比特数就是:{00, 10, 01, 11},即:在[0, 1]实数的自然数序列中,1存在是1否则是0, 同理2存在是1否则是0。

又因为前面说的,[0, 1]之间的实数,是与大于1的实数一一对应的,所以,比特数就是与实数存在一一对应的。

事实上,这里比特数其实是在,穷举自然数序列的个数,而其本质就是,自然数所有子集的个数,这也称之为——自然数的幂集

而从另一个层面来说,在量子计算中,量子比特(0或1)是处在叠加状态的,其结果是0还是1的概率,可以是任意数值。因此,量子比特和[0, 1]实数就是一一对应的,也就是和实数是一一对应的。

最后,我们可以看到,比特数的个数(即基数或势),其实是2的N次方个,其中N是“自然数的个数”,如2个自然数就会对应4个比特数,3个对应8个(2的3次方),4个对应16个(2的4次方),以此类推。

而自然数的个数(也称自然数的基数或势),被称为——阿列夫零,用ℵ₀表示,这也是任何可数无限集合的个数。

所以,实数(也称连续统)的个数(基数或势),也就是2的ℵ₀次方个。

实数基数与我们的认知

在数学上,自然数的个数(也称自然数的基数或势),被称为——阿列夫零,用ℵ₀表示,这也是任何可数无限集合的个数。而康托尔证明了,实数的基数就是——2的ℵ₀次方。

也就是说,无限个自然数有ℵ₀个,而无限个实数却有2的ℵ₀次方个。

这是什么概念,ℵ₀是远远远远远远(<<<<<<)小于2的ℵ₀次方的,如ℵ₀取10,2的10次方就是1024,那如果ℵ₀是100、1000、或∞呢?——这是不可想象的差距。

事实上,实数(即连续统)与可数无限集,之间的区别就在于,是否包含超越数。我们不得不承认,超越数,其实占了实数的绝大部分——甚至几乎填满了所有实数集。

编程大师——Charles Petzold,在《图灵的秘密》中说道:

“千百年来,我们对数的概念,完全是偏颇和扭曲的。我们总是重视整洁、秩序、以及模式,然而我们又生活在一个折中与近似的世界中。我们只关注那些对我们有意义的数字,例如:为了数农场里的动物,我们发明了自然数;为了测量发明了有理数;在高等数学中又发明了代数数;接着又在实数中挖掘出了很多数。但却完全无视了,实数海洋中,其它犹如微生物一般繁多的数。”

“我们生活在一种很安逸的幻觉中:有理数比无理数多得多,代数数比超越数多得多,这些都是我们的一厢情愿,事实上,在实数的世界中,几乎每一个数都是超越数。”

“这些超越数到底是什么?它们中大多数仅仅就是,随机的数字序列,安全没有模式、规则和意义可言。实际上,任何一个随机的数字序列,几乎都是超越数。”

那么,从这些数中,我们至少可以发现两点:

  • 第一,数的个数是2的幂次方。
  • 第二,数的个数增长是指数增长。

至于,超越数的随机性,这是关联到物理微观现实的,另一个有趣的问题。

物理之于数学

在数学的变分法问题上,有时得到一个存在性的证明是异常困难的,这就会促使人们用物理装置,去模拟这个问题的数学条件,甚至干脆把这个数学问题看成是一个物理现象的解释。那么,这个物理现象的存在性,就代表了这个数学问题的解。

变分法——寻求的是,使得泛函取得极大或极小值的极值函数。它起源于一些具体的物理学问题,最终由数学研究解决。

它在理论物理中非常重要,例如在拉格朗日力学、量子力学、以及最小作用量原理中,都有应用。另外,在材料学研究材料平衡中,也大量使用。

虽然这是一种大致的考察,会存在实验误差影响结论的情况,但实验结论依然会对人们的心理和视角,产生重大影响。有时这种物理实验,会在想象中进行,就足以给数学家颅内模拟的信心和力量。

在19世纪,函数论中的基本定理,就是由于黎曼进行了想象中的,薄金属片内电流的简单实验,而发现的。

但需要注意的是,观测与测量可能会有误差,但数学证明则没有任何错误的“缝隙”——其特点是,要么永远正确,要么从未正确,不存在正确与错误混合出的概率。

因此,在物理上通过实验得出的结论——是经验定律,其有错误的可能性(但不妨碍现实的可用性),而数学证明的结论——是定理,其拥有永真与保真性,即没有任何错误的可能性。

而在当代,数学家迈克尔·阿蒂亚(Michael Atiyah),曾经这样评价一位物理学家:

“虽然他肯定是物理学家,不过他对数学的掌握,很少数学家能比得上。他一次又一次,以巧妙的物理直觉和洞察力,导出新颖深刻的数学定理,使数学界为之惊异。他对现代数学影响巨大,他让物理学,再次成为数学的丰富灵感和直觉源头。”

他就是——爱德华·威滕(Edward Witten),弦理论和量子场论的顶尖物理学专家,但却获得了数学界的最高奖项——菲尔兹奖,所以他也必定是一位数学家。

事实上,他很难获得物理学诺贝尔奖,是因为他研究的物理理论(M理论,即弦理论的上层理论),太过超前而难以被实验证实,但理论研究过程中,所衍生出的数学工具,却对数学界有着极大的贡献。

对称性破缺

事实上,数学代表的是——对称性,物理世界却是——对称性破缺的产物。也就是说,数学描述的是——规律的对称性,物理世界却是——现实的对称性破缺,即:自发对称性破缺

自发对称性破缺(Spontaneous Symmetry Breaking)——是指某些物理系统,遵守自然规律的某种对称性,但是其系统本身却不具有这种对称性。

有一个简单的例子:

一个抛硬币系统,正反面是等概率的——这是自然规律的对称性,而一旦抛出硬币落地,正反面就确定了——此时系统本身的概率就不对称了。那么,抛硬币系统,就是遵守自然规律的对称性,但系统本身运作却不具有这种对称性。

可见,自发对称性破缺——是确定性,从概率的对称性中,随机显现出来,形成不对称性的过程——这就像是一个特定的现实,从数量巨大的一系列的可能性中,随机选择拼凑而来,如同上帝掷骰子的过程一样。

然而,无限次抛硬币的统计结果,正反面又会是对称的了。

可见我们的世界,是对称中有不对称,不对称中有对称,这完全取决于整体与局部的相对视角,即:从不对称的局部上升到整体就会对称,再继续上升到局部就又会不对称,如此随着视角的上升——整体与局部的不断变化——而如此往复。

显然,宏观系统并不会,真正违背微观系统的对称性,而是表现出(对称性)破缺,因为在整体破缺的状态下,系统各部分保持的关系,对能量的要求更低,从而就会更加稳定,以在宏观普遍的存在。

例如,在生命体中,19种氨基酸惊人一致地全部呈现左旋型——除了极少数低级病毒,含有右旋型氨基酸——可见,生命对左旋型有着强烈的偏爱,而正是这种不对称,才产生了如今的生命形式。而通常认为,左右旋型,代表着两种能量的高低,而左旋型能量较低,也较稳定,容易形成生命。

那么,矛盾性——或许就是在对称与不对称之间循环的产物。

结构的定义与意义

前面说了这么多,结构到底是什么呢?

结构,是万物最基础的结构,是信息最基础的结构,递归的来看——结构就是结构的结构。显然,这个描述形成了循环,但这种递归的定义如果存在“出口”,就可以打破这种循环。

因此,结构的定义可以是——结构是结构的结构,直到结构是0和1为止。

在物理中,基本粒子(或弦),是不可分割的最小结构,但描述它们的信息结构,仍然可以继续“分割”——直到这个可测量信息,变得不可测量,即无法感知。这里的感知,不仅有人类的感觉信息(即化学信息),还有工具的测量信息。

因此,只要有信息,就有可感知的存在,就有结构。那么,最小的结构,代表着抽象的极限——就必然是0和1了。

事实上,物理结构信息结构,一个是客观存在,一个是对客观存在的描述,但两者存在映射关系,并且最小的信息结构,就是0和1,即比特结构

那么,虽然物理存在(即物理结构),微观到一定程度,就会变得无法测量,但对应(描述映射)的信息结构——却可以凭借抽象抵达0和1。

而从另一个角度来说,如果在“最微观”处一切都是——概率,那么概率,也依旧是依赖信息结构来体现的,这又必然回路到了信息的最小结构——比特(0和1)。

因此,为什么物理存在,最后就变成抽象的0和1了?

或许,本来我们对物理存在的“感知”一直都是“信息”,直到我们定义了“信息”,从而有了一个全新的视角去解释原有的一切。

那么,结构的意义就在于——结构在最微观处“不存在”,却构建了宏观的一切。

最后,再从物理学角度来看,向一个封闭系统,输入信息(信息可以减少无序,消除不确定性,产生需要消耗能量),会降低系统的信息熵(因为输入信息,让结构有序,结构的信息量下降),同时也会降低其热力学熵(参考麦克斯韦妖思想实验)

于是,信息熵就是可以与热力学熵相互映射的,而热力学熵度量了不可利用的能量,且能量与质量(即物理现实)是可以相互转化的(质能方程),那么信息熵就与物理现实,是存在映射关系的,也就会说信息质量,是存在某种映射关系的, 即:质量越少,描述质量的信息越少(但描述能量的信息越多,同时宇宙系统的信息越多)。

而从公式关联角度来看,波函数演化代表了微观粒子的演化,波函数薛定谔方程解出,薛定谔方程的构造思路来自:

  • 第一步,玻尔兹曼熵公式(S = klogW)——热力学熵,使用e指数形式,即W = e^(S / k),玻尔兹曼常数k,换成普朗克常数h(其实是h / 2π)。
  • 第二步,欧拉恒等式(e^iπ 1 = 0)——最迷人的数学公式(连接了0、1、e、π、虚数i),获得波动性,为熵公式中的e加入虚数因子i,即W = e^(iS2π / h)。
  • 第三步,哈密顿-雅可比方程(Hamilton-Jacobi)——经典力学,熵公式中的S需要满足这个方程,即将改写后的熵公式W代入得薛定谔方程
  • 第四步,薛定谔方程——重写字符,熵公式中的W改为Ψ。

以上思路来自《不能说的秘密:薛定谔方程是怎么推导出来的》

可见,量子力学描述微观的视角是:热力学熵(概率) 经典力学(宏观规律) 普朗克常数(微观与宏观的连接) 欧拉恒等式(物理与数学的连接)——而热力学熵信息熵又是相互映射的,于是微观是可以“信息化”的。

所以,信息结构物理结构,在微观极限的抽象之地,其实是可以等同的,并且物理结构,事实上从来都是依靠“信息”来体现其“存在感”的——如人体感知到的“化学信息”与各种工具产生的“测量信息”

那么,在如此视角之下,再来看广义相对论的时空弯曲——这是一种数学结构物理结构,相互映射统一的结果。

时空弯曲——是人类感知信息难以理解和接受的,但在数学信息(黎曼几何)上却是可以成立的,而最后物理现象所传递出的观测信息,证实了数学信息的正确性。

这充分说明了,物理世界的运作,一定是会遵循信息结构所固有的逻辑性,而人类的感知信息,也一定会存在某些固有的局限性,以令其无法抵达到“感知”层面以下——那个“抽象之地”的信息世界。

结构、几何与代数

显然,结构的物理现实,必然会呈现出——几何现实,而0和1作为结构的最底层——其实它们构建了几何,于是——几何呈现的关系,也就是代数之间的关系,代数之间的关系也就是结构之间的关系,而关系——则可以通过几何代数来呈现。

那么,在结构之上的几何与代数,就是一一对应的关系。

于是,有观点认为,代数结构都必须用来处理几何结构,否则没有意义,而几何结构代数结构来处理,才能到达深刻,因此,代数是工具,几何是本质。

显然,几何结构,充满了宇宙,展现了物质的变化,与物理紧密相连,不可分离,而物理也的确在逐渐——几何化,即:几何开始能够解释各种物理现实。例如:广义相对论中的黎曼几何,量子力学中的希尔伯特空间、群和拓扑,包括弦理论中的线状弦,都是几何化的表现。

事实上,这是因为,几何关联到了物理现实,而代数则被封闭在了(神经现实构造的虚拟现实中的)抽象现实——而它只能通过几何,才能摆脱抽象,传递出结构现实的真实与存在。

由此,我们可以发现,逻辑(即结构固有的关系)会通过代数,映射到几何,最终关联到了(可感知和观测的)物理现实世界。

而现在,有观点认为——理论物理就是新几何,并且新几何终将统一广义相对论与量子力学,即:理论物理最终会被新几何纳入数学体系。

例如,黎曼猜想,就是用几何的形,来考虑对应的数,即:透过形来看数。而黎曼猜想(未证明)与费马大定理(已证明),已经成为(广义相对论和量子力学融合的)弦理论的几何拓扑载体。

弦理论专家——布莱恩·格林(Brian Greene),则认为:“几何学和物理定律,是紧密相连的,它们就像是一副对折开的地图。但真正的形式应该是,物理定律与很多几何,因为可以用不同的方式来看同一个物理系统,如两套几何对应同一套物理定律。至于你愿意使用哪一种几何,是你自己的事情。而有时候,使用某一种几何,就能让你看到更多更深入的东西。”

那么,我们是如何用代数工具,去表达几何本质,并最终解决物理现实的问题的呢?

如果代数是工具,那么工具(包括已有工具、的修改已有工具、发明的新工具)就是一种(由信息自由排列组合创造出的)结构,而现实也是结构,其呈现了几何结构,于是这就是用——创造的构造结构去“撬动并计算”已有的现实结构,从而就形成了新的结构和关系——结果自然就会看到新的逻辑与路径,也就是看到了更多更清晰的现实结构,即问题解决。

数学的本质

如果说一切都是结构,那么一切就都是信息,信息的最小结构是比特,而比特的状态是概率,可见信息和概率是密不可分的。

事实上,真正的概率来自于微观,而信息构建的物质在宏观——是概率连接了宏观与微观,即:微观随机性积累形成了宏观确定性

那么,这个0或1概率的意思就是——可能0是50%,1是50%,也可能0是25%,1是75%,具体怎么样,是不确定的,也是随机(因为其它信息相互作用而)不断变化的。

显然,来到比特层面,所有的属性都丢失了,这是抽象的极限,即:抽象之地

所以,在极限处,数学和一切都建立起了联系。

数学连接了心灵感知的抽象与真实世界的具体,一直以来人们都把思想和感受,称之为非现实的虚幻。可是,如果认可了万物皆比特的信息观,那么数学就成为了,从微观到宏观凭借结构与关系,构建连接的通道。

事实上,数学中,那些看似纯粹且高度抽象的部分,是作为数学整体这个“连接通道”的组成局部,为认知和描述所有物理现实而准备和服务的——虽然局部,有时不直接产生效用,但对整体却不可或缺。

例如,费马大定理的结论,对现实世界并没有什么影响,但这个定理证明的过程,却导致了很多有用的数学研究成果(包括结构、技术与思路)的出现,尤其是椭圆方程衍生的椭圆加密算法,就为区块链技术(如比特币)所用。

那么,综上可见,这就是为什么数学是研究结构和关系的,但碰巧数学又可以对一切事物有所应用和描述的原因所在。

曾经,人们觉得坚硬的物质现实,是不以人类的思想和意志(的脑电波)所直接控制和改变的——除非有超能力。

但如果——万物皆比特,那么人的思想和意识活动,其实就是和物质现实,无差别的——信息数据的排列组合和运作,而信息总是相互关联和相互影响的——或许这就是“念念不忘,必有回响”的本质原因所在。

最后,计算机中的数据结构和构建现实的物理结构,从万物皆比特的角度来看——都是无差别的比特结构(即信息结构)。那么显然,计算机是可以模拟一个现实的,而我们的现实可能就是上层“计算机”的模拟。

于是,一切都是嵌套与循环(即分形递归)的。

万物皆比特

詹姆斯·格雷克在《信息简史》中,详细的诠释了:信息与我们的生活、生命、文化、文明、自然、物理、以及机器,等等万物之间的密切关系,而用一句话来概括,那就是——万物皆比特

对此,詹姆斯·格雷克在全书最开始的引言,就抛出了这样观点:

“渐渐地,物理学家和信息理论学家会殊途同归。比特是另一种类型的基本粒子:它不仅微小,而且抽象——它存在于一个个二进制数字、一个个触发器、一个个「是」或「否」的判断里。它看不见摸不着,但当科学家最终开始理解信息时,他们好奇信息是否才是真正基本的东西,甚至比物质本身更基本。他们提出,比特才是不可再分的核心,而信息则是万事万物存在的本质。”

事实上,万物皆比特的观点,最初来自于物理学家——约翰·阿奇博尔德·惠勒,在1989年他用了一句颇具神谕意味的、由单音节词组成的句子,表达了一种观点,即:“It from Bit”(万物皆比特)。

约翰·阿奇博尔德·惠勒(John Archibald Wheeler)——核裂变的先驱、玻尔的学生、费曼的老师、黑洞的命名者、他的研究跨越20世纪和21世纪,与爱因斯坦和玻尔都曾合作过。

这是种极端的观点,完全不唯物:信息第一性,物质第二性。也就是说,任何事物(任何粒子和场,甚至时空连续统),其功能、意义和存在本身都完全(或间接地)源自于——信息比特。

惠勒认为:“我们所谓的现实(reality),是在对一系列「是」或「否」的追问综合分析后才在我们脑中成形的。所有实体之物,在起源上都是信息理论意义上的,而这个宇宙是个观察者参与其中的宇宙。因此,整个宇宙可以看作一台计算机——一台巨大的信息处理机器。”

由此,我们就可以从信息的角度,去解释自然为何看上去是量子化的?——这是因为信息是量子化的,比特才是终极的不可分的基本粒子。

于是,当光子、电子以及其它基本粒子发生相互作用时,它们实际是在做什么呢?——其实是在交换比特、转化量子态以及处理信息,而物理定律就是处理信息时所用的算法。因此,每一颗正在燃烧的恒星、每一个星云、每一粒在云室中留下幽灵般痕迹的粒子,都是一台信息处理器,而宇宙也在计算着自己的命运。

甚至通过计算,惠勒认为:“整个宇宙的比特数,无论以何种方式计算,都是 10的一个很大次方”。而根据塞斯·劳埃德的说法,宇宙的运算能力:“不会超过在10^90个比特上执行10^120次基本逻辑运算。”

那么,对于仍然未知神秘的量子纠缠——它也一定是比特编码信息的表现,而这里的比特,很可能就是量子力学所对应的——量子比特(qubit)。

而M理论(即弦理论的上层理论)的构造者,物理学家——爱德华·威滕(Edward Witten),在接受格雷厄姆·法梅洛(Graham Farmelo)采访时,曾这样说道:

“如果你问我,除了宇宙学之外,另一个类似八九十年代的重大理论动荡,最可能的方向是什么,我认为量子比特(it from qubit) 、几何图像、及量子纠缠三者之间的关系,这些是最有趣的方向之一。而到最近几年,我开始确信它很可能是「万物皆量子比特」,虽然我现在还不是这方面的先驱。我不是第一个得出这个结论,或持有这种怀疑的人,但是无论如何,这就是我的观点。”

或许,宇宙大爆炸就是比特大爆炸。

再看几何:突破三维屏障

在最开始,纯粹的几何,是作为具体的实体来考虑的,例如:点、直线、曲线等等。而解析几何只是提供了一组数或方程,来描述这些几何实体,以及使用代数或解析的方法,来解释和发展几何理论的。

但随着时间和研究的推移,几何与数的映射发生了翻转,数「XZY」被看作基本的对象,然后这些对象被具体化为几何实体(如直线、平面、空间)上的点。从而几何本身变成了一种描述语言——用来描述数与数之间的关系。

结果,有趣的事情发生了,纯粹几何具象着现实之物,所以只有3维,但解析几何的线性方程,其许多代数性质在本质上,是和所涉及的变量个数无关的——也就是与变量空间的维度无关。

那么,解析几何就可以描述3维以上的几何空间,就是超平面空间——这是纯粹的数学概念,而不是现实的物理概念。

而从纯粹的几何角度,来看:

  • 3维的体,可以由2维的面组成,但面需要去除空间折叠信息,并增加顶点的信息冗余;
  • 2维的面,可以由1维的线组成,但线需要去除了旋转信息,并增加线顶点的信息冗余;
  • 而1维的线,可以由无数个0维的点组成,这时候点的信息冗余度无限大,但却由微观构建了宏观,从无限构建了有限。

那么,由「点、线、面、体」,就可以从「0、1、2、3」维构建出「无限N」维,只不过其过程是在减少某些信息,增加某些冗余信息。

综上可见,是视觉系统(大脑的空间感知能力)限制了人类对高维空间的理解,但数和其代表的信息,却可以打破维度屏障,抵达不可想象的宇宙本质——或许这就是抽象的极限,0和1的比特世界。

弦理论专家——布莱恩·格林(Brian Greene),曾说道:“合理地描述这个世界,只凭我们能感知的3维空间是不行的,需要加入有着错综复杂几何形状的额外维度。”

最后,几何上的降维——立体压成平面,平面拆成线段,线段细化成点——这个过程产生了大量的冗余,也就是重复的数据和信息,那我们作为3维生物,是否会出现高维度的冗余呢?那是否可以把,信息的冗余就看成是高维度,进行降维的产物呢?

从程序看待数学

如果把大脑比作一台(量子)计算机,大脑的生理结构是硬件,思维活动是软件,那么数学可以看成是一种算法,运行在大脑这个虚拟机之上。

这个算法可以使用存储在大脑神经网络中的结构和关系,可以自动定理证明的过程(寻找更多的结构和关系),还能够自我学习归纳总结和逻辑推理。并且这个算法是随机运行的,可以无限的从环境中筛选出经过排列组合的信息。

这个算法在人脑中,就是自我意识、学习总结、逻辑推理的源泉,这就是数学——连接了心灵感知的抽象与真实世界的具体。

同时,这也体现了一个观点,数学的发展是随机的对环境信息不断过滤和筛选的结果。这里的随机,是指没有目的和没有终极目标,充满猜想以后验证猜想的过程。这样基础结论就会越来越多,能推导的结论就更多,没有尽头和上限——这或许就代表了上层(宇宙)环境信息无限。

而事实上,正是数学的随机猜想与发展,所带来的无限多的、随机组合出的结果与结论——这些其实都是数据,支撑了上层结构的迭代与构建,提供了上层发展所需要的信息与工具。

但这个随机性,也给数学带来了一个问题,即:正确的推理与正确的结论,未必就可以抵达那个我们所期望的终极答案,因为随机路径未必就是,指向终点的路径。

另外,编程上的函数,其实可以看成是对现实的抽象计算,或许大脑中的计算也是如此运作,那么大脑就是一个被编程的可编程实体——生物计算机,且我们又可以在计算机中编程一个世界,显然统一所有一切的是——递归、计算与编程。

最后,我认为机器智能,将会带来——新数学,这就像是智能从人脑“转移”到了机器之中——顺带着数学就进化成了新数学,而这依然是一个迭代,即:数学构造了人工智能人工智能通过数据构造了机器智能机器智能进一步又构造了新数学

结构与熵的关联性

熵,有序无序,这个序是什么,为什么要存在序。字面意思是存在区分可以排列,如果无法区分也就没有序。

如何才能区分,这就是结构,序就是结构及其形成的关系。有了结构和关系,就有了属性,属性就可以被测量、观测和感知。很多结构聚集在一起就形成了宏观物质,产生了可被测量的质量。所以,如果检测不到质量就没有了所谓的序。

那么,拥有结构就会与环境中的其它结构相互作用,所以无法达到光速,而不同结构之间的相互作用就形成了物质之间的力。没有结构,就没有结构之间的相互作用,所以速度就可以抵达光速(如光子没有质量,所以是光速)。

人类在试图创造有序,就是创造新的结构,产生新的属性和功能。但宇宙整体变的无序,就是整体结构(质量)在下降,即把可利用能量消耗掉,剩下不可利用的无序能量,形成一种没有结构(质量)的无序状态——熵(包括热力学熵与信息熵)度量了这种状态。可见人类虽然创造了新的结构(创造负熵),但过程中却消耗了其它更多的结构,所以局部在变得有序,而整体依然在变得更加无序(创造熵增)。

那么无序,也就是无法区分排列,也就是失去结构和关系、丢失属性。姑且认为纯能量,即无序化能量(无质量、无结构只有运动的状态)是会发生“大爆炸”的,接着形成一个质量无限大、体积无限小的奇点——这就是新宇宙的最开始,一个新循环的开始。

关于宇宙的结局,这只是一种假设,目前还没有定论,另外还有些假设是:热寂平衡、大撕裂或大收缩。

所以,宇宙的方向或说是趋势,就是消耗能量增加熵值,即质量转化为能量(质能方程)——形成无序化能量,也就是由有序到无序的变化。那么消耗能量,其实就是消耗质量的意思,其中能量即是微观的运动,只有运动没有质量的代表就是光子。但光子有速度,就会有动能和动质量。

公式:E(能量 )= h (普朗克常量)* v(频率),用来计算微观粒子的能量。由此可见,微观粒子的能量是和其波粒二象性中波的频率成正比的。而频率代表着粒子单位时间内,周期性变化的次数。这个粒子的变化,就可以看成是粒子某种形式的运动,那么能量在微观处就是和粒子的运动相关联的。

事实上,熵有一个简单直观的理解——就是代表了封闭系统中,无序程度(即随机性)的度量,也就是不可用能量的度量。

奥地利物理学家——玻尔兹曼(Ludwig Boltzmann),认为熵,只不过是计数不同的可能性。

那么,无序、没有结构、没有质量,即意味着没有可以利用的能量。而熵增无序,也就是实验总结出的热力学第二定律——能量转化必然会带来损耗——的一种修正形式。其中这个这个损耗——就是熵增无序的原因与结果。

但需要注意的是,熵是一个宏观统计学概念,熵增也是一个宏观统计结果,那么在微观是可能随机到熵减的,并且在宏观也有微乎其微到几乎不可能的概率随机到熵减。

由此可见,人类的工作(包括运动)和思考都是在创造局部有序,需要系统外部持续供应能量才能维持。而能量不足就会缺乏行动力,因为大脑和身体结构自发无序会降低驱动力——让人想要节省能量,产生行动的阻力感,所以宇宙熵增就是人们懒惰的本质原因。不过,在有能量供给的情况下,智能和本能,当然是可以对抗局部熵增,产生熵减的。

而万事万物的演化,都是结构的随机试错,在环境压力,即宇宙熵增的驱使下,筛选和塑造的(涌现)结果。那么,熵增就会筛选出最善于创造熵增的结构,比如人类(创造局部有序熵减,向全局释放更多无序熵增),而未来则是人工智能(机器智能)。

那么,在宇宙熵增驱使下的随机试错,其实就是一种算法——宇宙的算法。而算法的本质就是:对结构关系演变的捕获和逻辑性描述。

万物的本质

在普朗克常量的尺度上,时间和空间都是非连续的。也就是说,一切物质的构建基础,在微观就是量子化的数据。而正是这些量子化的数据,通过排列组合的积累效应,才最终呈现出了宏观的连续性。由此可见,从微观到宏观,从非连续性到连续的过程,就是一个从量变到质变,从0到1的积累过程。

那么可以想象,是数据流过层层结构,被层层过滤,形成了不同的排列和组合,这就产生了多样性。而数据会构建组合出新的结构,结构又会塑造数据的组合和路径,这就产生了自组织性。

那么必定会有无数,我们看不见和无法感知的结构存在,但数据经过不断的随机组合和筛选过滤,最终就形成了我们和如今我们所看到的一切。然而,随着时间的推移,数据终将会排列组合出一个终极结构。 ​​​​同时,数学和信息,也将会一同抵达那一个终极结构。

而这种一切都由最基本结构比特,所递归构建上层结构的形式,是一种分形。所以,宇宙万物都是由分形递归来构建的,这同时也是一种循环,我们的世界和宇宙并没有无限,只有循环,而循环就是一种无限。

分形——通常被定义为一个粗糙或零碎的几何形状,可以分成数个部分,且每一部分都(至少近似地)是整体缩小后的形状,即具有自相似的性质。

最后一个问题的答案,即是第一问题的开始——开始就是结束,结束就是开始,问题的终结就是循环的开始——那么,分形递归即是终极答案。

One More Thing:逻辑

数学与逻辑的关系是微妙的,前面的论述已经说明:逻辑是结构和关系所固有特点,有结构就会有关系也会有逻辑,有逻辑必有关系也一定有结构。

这里还有几个视角去看待逻辑:

第一,逻辑是公理体系推理和演绎的过程和基石。但数学的一些结论和定义,是不需要逻辑参与的。

  • 比如,已经被证明的结论和公式,独立来看其本身是没有逻辑的,对其证明的过程才能体现出逻辑。
  • 再比如,公理假设,是不需要证明的。因为这是最基础假定正确的前提,其论述必然不需要逻辑,而只需要的是共识和直觉。
  • 还有人为的定义,如自然数(非负整数)——是没有逻辑可以导出自然数的,其本质就是人为的规定。

事实上,自然数是涌现于映射现实的计数需要,但自然数也是不断发展的,比如0这个概念的从无到有,还有偶数、奇数、质数、合数等概念的扩展。

于是,这就牵扯到另外一些人为的定义——比如虚数和0不能做分母等等,这些定义需要遵循公理体系的原则,即不能违背相容性,所以这些定义其实是有逻辑的。

第二,我们如何去表达描述这个逻辑,无论是数学语言,还是人类语言,逻辑需要依附于结构,才能形成可理解的信息去传递自身。

第三,可以说局部来看,逻辑是完备的,但更全局的视角就会出现逻辑悖论。就像欧式几何局部来看是完备的,但在更全局的视角上,其平行公设是有问题的,因为在非欧几何里平行公设不成立。从此也可以看出,欧式几何直接给出的5大公设,是没有逻辑的,而只有直觉上是正确的。

所以,可见逻辑是不能脱离结构独立存在的,有逻辑就有结构,有结构就会有逻辑,不同的角度看,就会觉得结构是本质,或是逻辑是本质,其实它们是不可分割的。

结语

本文并没有涉及到任何数学公式,有关数学的概念也都是笼统又概括的。就如本文开头所说,数学领域是庞大而巨细、繁杂又艰深的,任何一个细分领域,都足以耗费一个人几十年甚至一生在其中慢慢去研究的。

但越是具体,越是深入到细节,就越是局部,也就越无法解答数学本质——这个整体全局的视角下才能看清的问题。

我想是数学游戏的规则,注定了数学只会越来越博大精深,而数学复杂和难度,又让人们不敢轻言其本质,甚至有可能不相信这么个多面变化之物,真的会有一个稳定不变的和可以被理解的终极本质。这就如同哲学上思考,人类是否能够完全理解宇宙一样。

本文只是一种视角和理解,并从逻辑上完整详细的给出了——万物皆比特的推理和认知路径。那么,如果认可了数学的本质是一门语言——描述了结构和关系,那么以上这一切就都可以自圆其说了。

后记

事实上,数学并不复杂——复杂意味着,冗余、重复、真真假假、对错充满了概率——相反,数学是确定而简洁的。

那么人们觉得数学复杂,其实是因为大脑中,缺失了逻辑推理路径上的信息积累——其中包括各种符号背后的压缩信息,以及推动逻辑数据形成和移动的上下文信息。并且人脑的进化机制是基于“模糊”的概率,而不是精确的计算,这让我们难于记忆和使用“数学语言”去阅读、思考和理解——所以需要花费一定的时间进行必要的训练,才能在大脑中生成不曾有的、拥有特定功能的神经结构。

那么数学的简洁,是在于没有冗余,逻辑合理成立的路径上,每一步都环环相扣的彼此依赖,并不需要额外的关联与发散,直指目标,最终抵达某个信息排列组合的必然呈现。

而从某种角度来看,简洁是逻辑的必然,也是我们掌握、理解和使用数学的必要——要知道,再强大的力量,如果不能掌控自如,那么也等于从未拥有。

那么,我们之所以如此的依赖数学,而数学也毫不令人失望地展现了巨大的威力与力量,这一切都在于——数学语言所刻画、呈现、描述的逻辑性,是万物结构内在的关系,它可以一定程度的预测未来

而预测未来,就是我们文明和一切的基石,也是智能的体现,它指向了通向未来的路径——是的,预测创造了预测的未来!

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