数学揭秘:e生万物……自然底数e为何神奇又“自然”?

1元存银行能实现财富自由吗?数学家薅羊毛得到的e会告诉你答案。自然常数到底蕴含什么终极奥义?它怎么就“自然”了呢?本文从10维度和你们讲透!建议收藏~

e太神奇!道生e,e生万物……

1元存银行能实现财富自由吗?数学家薅羊毛得到的e会告诉你答案。自然常数[公式]到底蕴含什么终极奥义?它怎么就“自然”了呢?本文从10维度和你们讲透!建议收藏~

  • e为复利的天花板常数
  • e是打开数学和财富之门的钥匙
  • e是为大自然的结界,充满界限感
  • e极具魅力,崇高及无穷的魅力

如果π是初始,那e是终结!但最后又殊途同归了……

其实本人在高中阶段就对它进行了深入的思考与研究,曾通过研究对数求导自然地导出了 [公式] 的表达式,并且证明了它的收敛性。本篇文章从以下10个维度对 [公式] 进行全面且简洁严谨地论述。

  1. 自然对数底数[公式]的简介
  2. 自然对数底数 [公式]的相关轶事(数学家薅羊毛的故事)
  3. 自然对数底数[公式]的自然导出(作者本人)
  4. 自然对数底数[公式]为收敛性的证明
  5. 两种方法推导[公式]的导数
  6. 自然对数底数[公式]的级数表示
  7. 自然对数底数[公式]为无理数的证明
  8. 自然对数底数欧拉公式的导出
  9. 自然对数底数[公式]与正态分布的关系
  10. 自然对数底数 [公式] 在金融中的应用(回到数学家薅羊毛的故事)

1.自然对数底数 [公式] 的简介

[公式] 是自然对数函数的底数,亦称自然底数,或是欧拉数(Euler’s number),以瑞士数学家欧拉命名;还有个较少见的名字纳皮尔常数,用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔对数。它是一个无理数,即无限不循环小数,数值约是

[公式]

欧拉肖像

2.自然对数底数 [公式]的相关轶事(数学家薅羊毛的故事)

自然底数 [公式] 最早出现在是约翰·纳皮尔的著作之中,在约翰·纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表中,有由这个常数为底计算出的一张自然对数表,也有人说这张表是由威廉·奥特雷制作,但是无论如何,这张表中并没有给出它的表达式。

第一次提出 [公式] 的表达式的是雅各布·伯努利,他发现如果银行的名义年利率如果不变的情况下,假定为 [公式] , 银行每年的付息次数为 [公式] , 并且每次付息直接继续存入银行,则年初存入 [公式] 元,到年底可以获得的现金为

[公式]

则当付息次数趋于无穷大,即付息时间间隔趋于无穷短时

[公式]

因此他尝试计算

[公式]

它发现 [公式] 越大,这个表达式的值就越大,但是这个表达式并非可以达到无穷大,而是有个极限,这个极限在 [公式] 到 [公式] 之间,而这个表达式正是 [公式] 的定义。

雅各布·伯努力

已知的第一次用到常数 [公式] 数学家莱布尼茨,他于1690年和1691年给惠更斯的通信中提到这个常数。

莱布尼茨

1727年大数学家欧拉开始用 [公式] 来表示这常数,1736年这个常数出现在欧拉的《力学》著作中,最终大家约定俗成用字母 [公式] 表示这个常数。

3.自然对数底数 [公式] 的自然导出

很多人通常会疑惑数学家为什么会弄出一个自然对数函数底数 [公式] ,其实这是研究对数函数求导的一个自然结果。在研究对数函数求导过程中,有

[公式]

因此自然可令

[公式]

则有

[公式]

特别地,

[公式]

4.自然对数底数 [公式] 为收敛性的证明

我们只需要证明 [公式] 的定义式收敛即可。实际上

[公式]

有界,并且

[公式]

单调,我们知道单调有界函数必然收敛,故自然底数的定义也会自然出现

5.两种方法推导 [公式] 的导数

方法一

另外,有了 [公式] 以后我们令

[公式]

也自然有

[公式]

方法二

当然也可以令

[公式]

其中第二步是对等式两边同时求导。由此可知,函数 [公式] 的导数是本身。

6.自然对数底数 [公式] 的级数表示

根据泰勒展开理论有

[公式]

且这个级数收敛半径是无穷大,即洛朗级数也是这个结果。特别地

[公式]

根据这个级数公式,我们也立即知道 [公式] 的收敛性,因为相邻项比值的极限趋近于零,详见上述文章。

7.自然对数底数 [公式] 为无理数的证明

用反证明法证明。假定 [公式] 是有理数,不妨假定

[公式] ,

其中 [公式] 均为正整数。根据级数表示公式,我们有

[公式]

最后一个式子左端为整数,右端第一项也为整数,而

[公式] ,

因此等式左右两边矛盾,所以 [公式] 必然为无理数。

8.欧拉公式的导出

根据泰勒展开理论有

[公式]

并且收敛半径均为无穷大,即洛朗级数展开也是同样的结果。由以上结果,我们立即可得

[公式]

这便是著名的欧拉公式

9.自然对数底数 [公式] 与正态分布的关系

统计学中存在一个分布,叫做正态分布,它的概率函数

[公式]

其中 [公式] 为期望, [公式] 为方差,读者可以自行计算。特别地,当 [公式] 时,称为标准正态分布。正态分布之所以重要,是因为任何无限多个独立同分布相加的结果均满足正态分布,或者说任何无限多个独立同分布的均值均满足正态分布。这便是统计学上著名的中心极限定理

10.自然对数底数 [公式] 在金融中的应用(回到数学家薅羊毛的故事)

其实在很多实际应用场景中都有 [公式] 的身影,例如金融学中的利率。假定名义年化利率为 [公式] , 付息频率为 [公式] , 则显然实际年化利率为

[公式]

如前所述,这显然是一个关于付息频率的增函数。其实从实际意义上我们也可以知道它是增函数,因为总现金流不变,付息频率越高,则味着现金流回收越早,即在更短的平均时间内回收了相同数额的现金,因此意味着利率越高,所以它是关于付息频率的增函数。当付息频率趋近于无穷大时,则有

[公式]

这说明 [公式] 元钱年初以名义利率 [公式] 存入银行,即使结息次数达到无穷大,我们到年底收获的现金依旧是有限的,最终值为 [公式] .

作者:上官正申

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