数学揭秘：e生万物……自然底数e为何神奇又“自然”？

e太神奇！道生e，e生万物……

1元存银行能实现财富自由吗？数学家薅羊毛得到的e会告诉你答案。自然常数 $\mathbb{e}$ 到底蕴含什么终极奥义？它怎么就“自然”了呢？本文从10维度和你们讲透！建议收藏~

e为复利的天花板常数
e是打开数学和财富之门的钥匙
e是为大自然的结界，充满界限感
e极具魅力，崇高及无穷的魅力

如果π是初始，那e是终结！但最后又殊途同归了......

其实本人在高中阶段就对它进行了深入的思考与研究，曾通过研究对数求导自然地导出了 $\mathbb{e}$ 的表达式，并且证明了它的收敛性。本篇文章从以下10个维度对 $\mathbb{e}$ 进行全面且简洁严谨地论述。

自然对数底数 $\mathbb{e}$ 的简介
自然对数底数 $\mathbb{e}$ 的相关轶事（数学家薅羊毛的故事）
自然对数底数 $\mathbb{e}$ 的自然导出（作者本人）
自然对数底数 $\mathbb{e}$ 为收敛性的证明
两种方法推导 $\mathbb{e}^{x}$ 的导数
自然对数底数 $\mathbb{e}$ 的级数表示
自然对数底数 $\mathbb{e}$ 为无理数的证明
自然对数底数欧拉公式的导出
自然对数底数 $\mathbb{e}$ 与正态分布的关系
自然对数底数 $\mathbb{e}$ 在金融中的应用（回到数学家薅羊毛的故事）

1.自然对数底数 $\mathbb{e}$ 的简介

$\mathbb{e}$ 是自然对数函数的底数，亦称自然底数，或是欧拉数（Euler's number），以瑞士数学家欧拉命名；还有个较少见的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔对数。它是一个无理数，即无限不循环小数，数值约是

$\mathbb{e}\approx2.71828182845904523536$

2.自然对数底数 $\mathbb{e}$ 的相关轶事（数学家薅羊毛的故事）

自然底数 $\mathbb{e}$ 最早出现在是约翰·纳皮尔的著作之中，在约翰·纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表中，有由这个常数为底计算出的一张自然对数表，也有人说这张表是由威廉·奥特雷制作，但是无论如何，这张表中并没有给出它的表达式。

第一次提出 $\mathbb{e}$ 的表达式的是雅各布·伯努利，他发现如果银行的名义年利率如果不变的情况下，假定为 $r$ , 银行每年的付息次数为 $n$ , 并且每次付息直接继续存入银行，则年初存入 $1$ 元，到年底可以获得的现金为

$(1+\frac{r}{n})^{n} =(1+\frac{r}{n})^{\frac{n}{r}r} =(1+\frac{1}{n})^{nr}$

则当付息次数趋于无穷大，即付息时间间隔趋于无穷短时

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{r}{n})^{n} =\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{r}{n})^{\frac{n}{r}r} =\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^{nr}$

因此他尝试计算

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}$

它发现 $n$ 越大，这个表达式的值就越大，但是这个表达式并非可以达到无穷大，而是有个极限，这个极限在 $2$ 到 $3$ 之间，而这个表达式正是 $\mathbb{e}$ 的定义。

已知的第一次用到常数 $\mathbb{e}$ 数学家莱布尼茨，他于1690年和1691年给惠更斯的通信中提到这个常数。

1727年大数学家欧拉开始用 $\mathbb{e}$ 来表示这常数，1736年这个常数出现在欧拉的《力学》著作中，最终大家约定俗成用字母 $\mathbb{e}$ 表示这个常数。

3.自然对数底数 $\mathbb{e}$ 的自然导出

很多人通常会疑惑数学家为什么会弄出一个自然对数函数底数 $\mathbb{e}$ ，其实这是研究对数函数求导的一个自然结果。在研究对数函数求导过程中，有

$(\log_{a}x)' =\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\log_{a}(x+\Delta x)-\log_{a}x}{\Delta x}\\ =\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\log_{a}\frac{x+\Delta x}{x}}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\log_{a}(1+\frac{\Delta x}{x})}{\Delta x}\\ =\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\log_{a}(1+\frac{\Delta x}{x})}{x\frac{\Delta x}{x}} =\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\log_{a}(1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac{x}{\Delta x}}}{x}\\ =\lim\limits_{\frac{\Delta x}{x}\rightarrow0}\frac{\log_{a}(1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac{x}{\Delta x}}}{x}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\log_{a}(1+\frac{1}{n})^{n}}{x}$

因此自然可令

$\mathbb{e}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}$

则有

$(\log_{a}x)'=\frac{\log_{a}\mathbb{e}}{x}=\frac{1}{x\ln a}$

特别地，

$(\ln x)'=\frac{1}{x}$

4.自然对数底数 $\mathbb{e}$ 为收敛性的证明

我们只需要证明 $\mathbb{e}$ 的定义式收敛即可。实际上

$(1+\frac{1}{n})^{n}=1+1+C_{n}^{2}\frac{1}{n^{2}}+\cdots+\cdots<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}<3$

有界，并且

$(1+\frac{1}{n})^{n}=1+1+C_{n}^{2}\frac{1}{n^{2}}+\cdots+> 1+1+C_{n-1}^{2}\frac{1}{(n-1)^{2}}+\cdots+=(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}$

单调，我们知道单调有界函数必然收敛，故自然底数的定义也会自然出现。

5.两种方法推导 $\mathbb{e}^{x}$ 的导数

方法一

另外，有了 $\mathbb{e}$ 以后我们令

$t=\mathbb{e}^{x}, t+\Delta t=\mathbb{e}^{x+\Delta x}$

也自然有

$(\mathbb{e}^{x})'=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\mathbb{e}^{x+\Delta x}-\mathbb{e}^{x}}{\Delta x} =\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}\frac{t+\Delta t-t}{\ln(t+\Delta t)-\ln t}\\ =\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta t}{\ln(t+\Delta t)-\ln t}=\frac{1}{(\ln t)'}=t=\mathbb{e}^{x}$

方法二

当然也可以令

$t=\mathbb{e}^{x}\Leftrightarrow\ln t=x\Rightarrow\frac{t'}{t}=1\Leftrightarrow t'=t=\mathbb{e}^{x}\Leftrightarrow(\mathbb{e}^{x})'=\mathbb{e}^{x}$

其中第二步是对等式两边同时求导。由此可知，函数 $\mathbb{e}^{x}$ 的导数是本身。

6.自然对数底数 $\mathbb{e}$ 的级数表示

根据泰勒展开理论有

$\mathbb{e}^{x}=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}$

且这个级数收敛半径是无穷大，即洛朗级数也是这个结果。特别地

$\mathbb{e}=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!}$

根据这个级数公式，我们也立即知道 $\mathbb{e}$ 的收敛性，因为相邻项比值的极限趋近于零，详见上述文章。

7.自然对数底数 $\mathbb{e}$ 为无理数的证明

用反证明法证明。假定 $\mathbb{e}$ 是有理数，不妨假定

$\mathbb{e}=\frac{a}{b}$ ,

其中 $a, b$ 均为正整数。根据级数表示公式，我们有

$\frac{a}{b}=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!}\Longleftrightarrow a(b-1)!=\sum\limits_{i=0}^{b}i!+\sum\limits_{i=b+1}^{\infty}\frac{b!}{i!}$

最后一个式子左端为整数，右端第一项也为整数，而

$0<\sum\limits_{i=b+1}^{\infty}\frac{b!}{i!}<\frac{1}{b+1}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}+\cdots)=\frac{1}{b+1}<1$ ,

因此等式左右两边矛盾，所以 $\mathbb{e}$ 必然为无理数。

8.欧拉公式的导出

根据泰勒展开理论有

$\mathbb{e}^{x}=\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{x^{j}}{j!}, ~~~ \cos x=\sum\limits_{j=0}^{\infty}(-1)^{j}\frac{x^{2j}}{(2j)!}, ~~~ \sin x=\sum\limits_{j=0}^{\infty}(-1)^{j}\frac{x^{2j+1}}{(2j+1)!}$

并且收敛半径均为无穷大，即洛朗级数展开也是同样的结果。由以上结果，我们立即可得

$\mathbb{e}^{\mathbb{i}x}=\cos x+\mathbb{i}\sin x$

这便是著名的欧拉公式。

9.自然对数底数 $\mathbb{e}$ 与正态分布的关系

统计学中存在一个分布，叫做正态分布，它的概率函数

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\mathbb{e}^{\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$

其中 $\mu$ 为期望， $\sigma$ 为方差，读者可以自行计算。特别地，当 $\mu=0, \sigma=1$ 时，称为标准正态分布。正态分布之所以重要，是因为任何无限多个独立同分布相加的结果均满足正态分布，或者说任何无限多个独立同分布的均值均满足正态分布。这便是统计学上著名的中心极限定理。