文章目录[隐藏]
作者：纸尤
困扰了数学界358年的费马大定理，又称费马最后定理。
历史上，数学之父毕达哥拉斯提出了毕达哥拉斯定理即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
图中是一个直角三角形，OA^2+OB^2=AB^2，若OA=3，OB=4，AB=5，可以满足上述关系。3，4，5是一组整数解。此类整数解称为毕达哥拉斯三元数组。
毕达哥拉斯学派找到更多的三元数组，如5，12，13等等。很显然，毕达哥拉斯三元数组有无数组（3，4，5是三元数组，将它们放大同样的整数倍，它们仍然是一组三元数）
将此问题转换形式即 x^2+y^2=z^2有无数组正整数解。
这便是费马大定理的由来。
接下来我们的主角将要登场。
大约在1637年，一位聪慧但却脾气古怪的法国律师，当然他就是皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）他将自己的业余时间几乎全部投入到了数学中。他很少与其他数学家交流。其他数学家（除了和帕斯卡一起研究概率论）写信给他想要和他交换数学成果，他会拒绝掉。（吓，不怎么和其他数学家交流还这么NB，他不但提出费马大定理还是微积分的奠基者之一，甚至独立于笛卡尔发现解析几何的基本原理，被称为业余数学家之王。）
丢番图与他的《算术》
他在翻阅《算术》（公元三世纪古希腊数学家丢番图所写）时，对数论产生了兴趣。他看到毕达哥拉斯三元数组，脑子里轰隆一下，（如果把x^2+y^2=z^2中的二次方换成三次方，换成四次方甚至更高的次方会不会有正整数解呢）即x^n + y^n = z^n，n>2且n为整数，是否存在x,y,z为整数。费马最终证明该整数组不存在（至于什么方法，呵呵对不起，你只能去问马克思了。）
费马在《算术》的空隙里写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”（恶趣味，不知道有多少数学家崩溃）
费马大定理：当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
他的定理由于他几乎不与其他数学家交流，差一点就不为人知。这一点还得感谢他的儿子，就暂将他的儿子称为小费马（别问我为什么，大仲马的儿子不也叫小仲马吗）他不忍心看着他父亲的成果遗失，决心将它出版。
证明的接力过程如下：
1753年瑞士著名数学家欧拉（就是欧拉都不行），在给哥德巴赫的信中说，他证明了n=3时的费马猜想，1770年其证明发表在《代数指南》一书中，方法是“无限下降法”和形如数系的唯一因子分解定理，这一方法也被后人多次引用。
1816年巴黎科学院把费马猜想转化简化归结为n是奇素数的情况，认为费马猜想应该成立，并称为为费马大定理（以区别费马关于同余的小定理），并为证明者设立大奖和奖章，费马大定理之谜从此进一步风靡全球。
费马自己证明了n=4的情形。
十九世纪初法国自学成才的女数学家热尔曼证明了当n和2n+1都是素数时费马大定理的反例x，y，z至少有一个是n整倍数。在此基础上，1825年德国数学家狄利克雷和法国数学家勒让德分别独立证明费马大定理在n=5时成立，用的是欧拉所用方法的延伸，但避开了唯一因子分解定理。
1839年，法国数学家拉梅对热尔曼方法作了进一步改进，并证明了n=7的情形，他的证明使用了跟7本身结合得很紧密的巧妙工具，只是难以推广到n=11的情形；于是，他又在1847年提出了“分圆整数”法来证明，但没有成功。
1844年，库默尔提出了“理想数”概念，他证明了：对于所有小于100的素指数n，费马大定理成立，此一研究告一阶段。但对一般情况，在猜想提出的头二百年内数学家们仍对费马大定理一筹莫展。
库默尔
1847年，巴黎科学院上演戏剧性一幕， 当时著名数学家拉梅和柯西先后宣布自己基本证明费马大定理，拉梅还声称证明引用了刘维尔复数系中的唯一因子分解定理，刘维尔则说这一定理源自欧拉和高斯的思想。大数学家都被扯入其中，似乎结论十分可靠。就在此时刘维尔宣读了德国数学家库默尔的来信，明确指出证明中的复数系的唯一因子分解定理并不普遍成立，于是拉梅和柯西的证明都是错的。
大约在1850年前后，高斯的学生、德国数学家库默尔看到唯一因子分解是否成立是欧拉、热尔曼创立的企图证明费马大定理的方法关键，于是他创立了一种“理想数环”理论，据说这一思想也受其老师高斯启发，高斯表面上声称对费马大定理不感兴趣，实际上对n=7久思不解（事实证明高斯。。。。。）。学生库默尔运用独创的“理想素数”理论，一下子证明了100以内除37、59、67以外的所有奇数费马大定理都成立，使证明问题取得了第一次重大突破。
库默尔之后近半个世纪，费马大定理证明都停滞不前，直到二十世纪前期大数学家勒贝格向巴黎科学院提交了一个费马大定理的证明论稿，由于勒贝格当时的权威声望，大家都以为这下问题解决了，但经过广泛传阅其证明稿件，人们遗憾地发现大数学家的分析证明还是错的。
最终结果：
1994年10月25日11点4分11秒，怀尔斯通过他以前的学生、美国俄亥俄州立大学教授卡尔.鲁宾向世界数学界发了费马大定理的完整证明邮件，包括一篇长文“模椭圆曲线和费马大定理”，作者安德鲁.怀尔斯。另一篇短文“某些赫克代数的环论性质”作者理查德.泰勒和安德鲁.怀尔斯。至此费马大定理得证。
困扰数学界358年的数学难题就此解决。
附上证明过程：
Xn+Yn=Zn（其中X、Y、Z都是非零数）当n为大于２的正整数时X、Y、Z，不可能都是正整数。证明步骤如下：我们只要证明当n为大于２的正整数时，X、Y、Z，不可能都是非零的有理数，原命题自然成立。对于Xn+Yn=Zn来说如果等式二边无论如何都找不到有理对应关系，那么他们还有理数解吗？我们知道等式二边所有对应关系可列成下面三种情况。1、Xn+ Yn=Zn ２、Xn=Zn－Yn ３、Yn=Zn－Xn 分析第一种情况 Xn+ Yn=Zn当n等于３时，X３+ Y３=Z３一方面由于等式左边y不管取何非零值，都只能分解成关于X的二个有理因式，即：X３+ Y３＝（X+ Y）（X２+XY+ Y２）另一方面，如果存在有理数解则Ｘ与Ｚ之间必可通过有理置换，如：Ｚ=Ｘ+某数形式即：等式右边Z３＝（Ｘ+某数）（Ｘ+某数）（Ｘ+某数）三个因式。这样，等式一边永远无法变成Ｘ三个有理因式，等式另一边总是可以变成Ｘ三个有理因式，因此出现了矛盾。
分析第二种情况 Xn=Zn－Yn 。当n等于３时 X３=Z３－Y３ 。一方面由于等式右边Ｙ不管取何非零值，都只能分解成关于Ｚ的二个有理因式，即：右边Z３－Y３ ＝（Z－Y）（Z２+ＺＹ+Y２ ）二个有理因式
另一方面，如果存在有理数解则Ｚ与Ｘ之间必可通过有理置换，如：Ｘ=Ｚ-有理数。等式左边X３=（Ｚ-有理数）（Ｚ-有理数）（Ｚ-有理数）三个因式。这样，等式一边永远无法变成Ｚ三个有理因式，等式另一边总是可以变成Ｚ的三个有理因式，因此出现了矛盾。
第三种情况和第二种情况是相似的。也就是说Ｘ、Ｙ、Ｚ为非零数时，所有的排列，都找不到等式二边会有理对应关系，因此当n等于３时Ｘ、Ｙ、Ｚ不可能都是有理数，更谈不上是整数。
当n＝４时则Xn+Yn=Zn变成X４+Y４=Z４所有的排列有下面３种：１、X４+ Y４=Z４ ２、 X４=Z４－Y４ ３、 Y４=Z４－X４ 分析第一种情况，１、X４+ Y４=Z４ 一方面由于等式左边y不管取何非零值，都只能分解成关于X的一个有理因式，另一方面，如果存在有理数解则Ｘ与Ｚ之间必可通过有理置换，如Ｚ=Ｘ+有理数
等式右边Z４＝（Ｘ+有理数）（Ｘ+有理数）（Ｘ+有理数）（Ｘ+有理数）四个有理因式。
这样，等式一边永远无法变成Ｘ四个有理因式，等式另一边总是可以变成Ｘ四个有理因式，因此出现了矛盾。
分析第二种情况，２、X４=Z４－Y４ 一方面由于等式右边Ｙ不管取何非零值，都只能分解成关于Ｚ的三个有理因式即：Z４－Y４ ＝（Ｚ-Ｙ）（Ｚ+Ｙ）（Ｚ２+Ｙ２） 另一方面，如果存在有理数解则Ｚ与Ｘ之间必可通过有理置换如：Ｘ=Ｚ-有理数。等式左边X４=（Ｚ-有理数）（Ｚ-有理数）（Ｚ-有理数）（Ｚ-有理数）四个有理因式这样，等式一边永远无法变成Ｚ四个有理因式，等式另一边总是可以变成Ｚ的四个有理因式，因此出现了矛盾。由此法不难类推，当n等于其他大于２的整数时，等于二边也无法有有理对应关系。
所以费马的结论是对的。
