数学考研:活用拉格朗日中值,吊打复杂极限难题!

你想到了什么方法?没猜错,你应该想到了泰勒展开或洛必达,但如果Kaysen/煜神(148上将)告诉你这道题还能用拉氏中值、和差化积公式玩出花儿来,你有没有兴趣?

看一道自带霸王色霸气的三角函数极限难题:

例: 求极限[公式]

乍一看,你想到了什么方法?没猜错,你应该想到了泰勒展开或洛必达但如果Kaysen/煜神(148上将)告诉你这道题还能用拉氏中值、和差化积公式玩出花儿来,你有没有兴趣?

(P.S. 注意洛必达此处失效,分子求导当场狗带)

我们先来看看解这道题最基础的泰勒大法:

方法一:泰勒(easy doing,技术创新性★★)

泰勒最麻烦的点就在于能否保证展开的全面性!

方法二:和差化积 拉氏中值 (魔鬼细节,技术创新性★★★★★)

学长看到 [公式] ,和差化积啪的一下就蹦出来了,很快啊!

和差化积与拉氏中值擦出的绚丽火花

方法三:拉氏中值一般式(技术创新性★★★)

拉式中值 放缩,巧解复杂极限

方法四:拉氏中值有限增量式(技术创新性★★★★★)

当题干某部分函数明显能用拉氏中值,但用一般式又看不出什么名堂(精度不够),又懒得用放缩去讨论,不妨跟学长一起试试有限增量式,看看会发生出什么特异的化学反应!

所谓有限增量式,见同济高数书P128页,有如下一段话,不知大家有无品出余韵:

很多看过同济7版的同学,有限增量定理有没有激发创造性的解题思路?
有限增量,提高参数精度,出奇制胜!

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