数学考研：二元微分（连续、可微、可偏导、偏导连续）超强通俗解析！

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一、连续、可微
二、可（偏）导与可微
2.1 一元可导与可微
2.2 二元可偏导与可微
三、一阶偏导数连续与可微

二元微分中，连续、可微、可偏导、偏导连续，概念间的辩证关系抽象又难懂，那如何通俗又深刻的搞定它们呢？

先来看看关系网络全地图：

一、连续、可微

连续，就是离散的对立统一面。

一元函数中，用直线串联相邻微分点，就构成了宏观连续的平面曲线。

二元函数中，用微面连接相邻区域，就构成了宏观连续的空间曲面。

类似于学长在研究课题中的面网格剖分工作：

二、可（偏）导与可微

2.1 一元可导与可微

一元可导，内在地蕴涵着确定性与确定量的要求。

☛比如面试顶尖企业。首先，需要具备确定性。思想坚定不摇摆。

曲线在 $x_{0}$ 可导。需要原函数在左右邻域连续，且左导=右导。

反之这样左右摇摆的尖点，思想不坚定，不符合企业要求。

此处，Kaysen提出一个有意思的悖论，大家可以思考一下。

悖论1：☠

既然 $x_{0}$ 可导。要求 $f'(x_{0}^{-})=f'(x_{0}^{ })=A$ ，而其左邻点 $x_{1}$ 的右导 $f'(x_{1}^{ })=f'(x_{0}^{-})=A$ ，右邻点 $x_{2}$ 的左导 $f'(x_{2}^{-})=f'(x_{0}^{ })=A$ 。以此类推，整条曲线所有点的导数值均等于A。这样的话，所有曲线不都变成了直线么？

萌萌分割线（思考几分钟后再看学长给出的解释）☺

学长释疑：✍

此为极限思想制造出的悖论。该情境下，局部近似与趋近不能作用于整体。这是由于微观以直代曲的直线斜率， $lim_{Delta x rightarrow 0}{frac{f(x_{0}pm Delta x)-f(x_{0})}{pmDelta x}}$ ，本质是个近似值！

有同学会问，极限仅是 $Delta x rightarrow0$ ，计算出的斜率仍然是个实际值啊！为何学长说是近似值？这位同学且慢！(尔康表情包就不放了)。注意 $lim_{Delta x rightarrow 0}{frac{f(x_{0}pm Delta x)-f(x_{0})}{pmDelta x}}$ 中，分子与分母为 $“frac{0}{0}”$ 型，也即是 $frac{无穷小}{无穷小}$ 型。无穷小量，我们并不能精确把握。它是结果量还是状态量，是定量还是变量？不清不楚。所以当涉及无穷小量计算时。计算出的斜率均为近似值，而非实际值！

无穷个微小偏差。会表现出线条宏观上的巨大改变。正如0.99999的无穷次方。最终也会趋近于0。

☛其次，面试顶尖企业。简历还得具备确定量性。比如在校绩点排名等。增加可信度。

如上图， $x_{0}$ 处斜率 $rightarrow infty$ ，导数是不存在的，因为无穷并不是一个确定的量。

此处请思考悖论2：☠

既然可微可理解为“以直代曲”，那么在“导数” $rightarrow infty$ 的点，也有一段直线可以表达曲线，那该点岂不是可微的么？

学长释疑：✍

可微，是人为规定的，通过计算来判断微分各变量之间的精确定量关系， $dy=f'(x_{0})dx$ ,若 $f'(x_{0})rightarrow infty$ , $dy$ 与 $dx$ 的定量关系无法在数值上精确判断，故不可微。若将该图像转角 $90 ^{ 0 }$ ，则 $f'(x_{0})= 0$ ，则可微。

总结：一元函数的可导与可微等价，可通俗的认为二者均表示曲线连续且光滑，且切线无竖直情况。

2.2 二元可偏导与可微

$可微Rightarrow可偏导，可偏导不能推出可微$

学长灵魂之问：一元函数可导与可微等价，二元函数咋就不行了呢？

这是因为，一元函数的可导和可微均为一元属性。而二元函数可偏导是一元属性，而可微却是二元属性。一元属性的偏导存在无法推出二元属性的可微。

我们先看看，可微是在说什么？

二元函数在某点可微，表示的是该点处的曲面，可由一个不垂直于 $xoy$ 面的微小切平面代表。

我们将该切平面放大，再放大！来看看这个切平面是怎么得来的，是如何以平面代曲面的。

一元中，可微曲线的以直代曲，是小段切线代替局部曲线。而切线的构成，则是将 $frac{dy}{dx}=f'(x_{0})$ 中的 $dy$ , $dx$ 放大成 $y-y_{0}$ 和 $x-x_{0}$ ，变成 $y-y_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0})$

二元中，可微曲面的以平面代曲面，是小面积的切平面代替局部曲面。切平面，又可以看做是该点切线在该平面内旋转一周得到（即线动成面）。这些各向切线的斜率就是该点处的无数个方向导数。如下图。

若切平面不垂直于 $xoy$ 面，可认为该点处可微。（切面垂直于 $xoy$ 面时，导数不存在，类似于一元的理解）

那可偏导又在说什么？

说的是曲面上一点处，平行于 $x$ 轴、 $y$ 轴的两个方向导数存在。

对于可偏导-可微的辩证关系，可如下理解："两个线属性存在，并不能推出一个可微的面属性！"——煜神语录。

因为面属性的可微要求从各个方向趋近，而偏导只有两个方向。若用 $frac{2}{infty}$ 代替 $infty$ ，那这就，草率了啊！

按这个思路，举个图形反例，见下：

图中雨伞取1,2,3,4面合并为某一曲面，伞柄为Z轴向，假定两条黄虚线为x/y轴向。显然，伞尖处可偏导，但伞尖处不可微！

三、一阶偏导数连续与可微

灵魂之问2：为什么一阶偏导数连续，能推可微？反之则不成立？

上文说了一个道理，某点切平面可由共面的各方向导数构成。

类似的，某点切平面也可由共面的各连续偏导数构成。

二者都可以构成那个切平面，来代表微曲面，只是形式不同而已。故一阶偏导连续，可推可微。

那可微为什么不能推出偏导连续？

把握二元曲面概念前，先弱化到一元曲线情景，曲线可微 $Rightarrow$ 曲线光滑且连续（排除尖点），一阶导不连续。

则 $f'(x)$ 不存在，曲线为震荡函数！

这个结论何以成立？

煜神常在群里说的一个知识点是：若间断，则只有震荡间断点可能有原函数。那么 $（原函数）'$ 出现间断，必定是震荡函数！

（P.S. 上句高能，请谨慎理解）

下面引出著名的震荡曲线：

$x ne0时，y=x^{2}sinfrac{1}{x^{2}} ;$

$x=0时，y=0,$

感受震荡函数在原点附近的无穷魅力！

kaysen的视频

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$x=0,f'(0)=lim_{Delta x rightarrow 0}{frac{left( Delta x right) ^{2}sinfrac{1}{left( Delta x right) ^{2}}}{Delta x}}=0$

$xne0,f'(0)=2xsinfrac{1}{x^{2}}-frac{2}{x}cosfrac{1}{x^{2}}$ ，无穷warning！

$f(x)$ 可微，导数不连续。

我们将该曲线绕y轴旋转一周，将x,y同质化，得到二元震荡曲面，类似水波纹中心点的形态！函数式为：

$x^{2} y^{2} ne0时，z=(x^{2} y^{2})sinfrac{1}{x^{2} y^{2}} ;$

$x^{2} y^{2}=0时，z=0$

在 $(0,0)$ 点， $f(x,y)$ 显然可微（存在一个水平的切平面），但在 $(0,0)$ 点附近偏导不连续，存在无穷多个趋近竖直的切平面（由一元震荡函数在原点附近的“竖直”切线旋转而成）。无穷warning再次发生！

此处请思考悖论3：☠

既然上述函数在 $(0,0)$ 点可微，且有一个水平的微平面。那么微平面又可由连续的一阶偏导所构成，这样一来不就表明函数就在 $(0,0)$ 点处一阶偏导连续了么？

学长释疑：✍

两个角度梳理，数理和极限本质！

First，先数理逻辑，

可微性的判别式为

$lim_{rho rightarrow 0}{frac{Delta z - dy}{rho}}=lim_{rho rightarrow 0}{frac{Delta z-left[ f'_{x}(0,0)Delta x f'_{y}(0,0)Delta y right]}{rho}}=0$

其中， $rho=sqrt{(Delta x)^{2} (Delta y)^{2}}$

意思是，全增量（二元函数值的实际差值）与全微分（以直代曲下全增量的近似值）要足够接近到误差可以忽略不计。用上式计算 $(0,0)$ 点处，判别式值为0，推出可微。

一阶偏导，计算如下

$x^{2} y^{2}=0，f'_{x}left( 0,0 right)=lim_{Delta x rightarrow 0}{frac{f(0 Delta x)-f(0,0)}{Delta x}}=lim_{Delta x rightarrow 0}{Delta x sinfrac{1}{Delta x^{2}}}=0$