数学考研:二元微分(连续、可微、可偏导、偏导连续)超强通俗解析!

一元函数可导与可微等价,二元函数咋就不行了呢? 这是因为,一元函数的可导和可微均为一元属性。而二元函数可偏导是一元属性,而可微却是二元属性。

二元微分中,连续、可微、可偏导、偏导连续,概念间的辩证关系抽象又难懂,那如何通俗又深刻的搞定它们呢?

先来看看关系网络全地图:

联想一下,疏通筋骨!(注:偏导连续默认指一阶偏导连续)

一、连续、可微

连续,就是离散的对立统一面。

一元函数中,用直线串联相邻微分点,就构成了宏观连续的平面曲线。

二元函数中,用微面连接相邻区域,就构成了宏观连续的空间曲面。

类似于学长在研究课题中的面网格剖分工作:

有限元模拟,使用三角形和四边形网格表达零件曲面

二、可(偏)导与可微

2.1 一元可导与可微

一元可导,内在地蕴涵着确定性确定量的要求。

☛比如面试顶尖企业。首先,需要具备确定性。思想坚定不摇摆

曲线在 [公式] 可导。需要原函数在左右邻域连续,且左导=右导

反之这样左右摇摆的尖点,思想不坚定,不符合企业要求。

此处,Kaysen提出一个有意思的悖论,大家可以思考一下。

悖论1:

既然 [公式] 可导。要求 [公式] ,而其左邻点 [公式] 的右导 [公式] ,右邻点 [公式] 的左导 [公式] 。以此类推,整条曲线所有点的导数值均等于A。这样的话,所有曲线不都变成了直线么?

萌萌分割线(思考几分钟后再看学长给出的解释)☺

学长释疑:✍

此为极限思想制造出的悖论。该情境下,局部近似与趋近不能作用于整体。这是由于微观以直代曲的直线斜率, [公式] ,本质是个近似值!

有同学会问,极限仅是 [公式] ,计算出的斜率仍然是个实际值啊!为何学长说是近似值?这位同学且慢!(尔康表情包就不放了)。注意 [公式] 中,分子与分母为 [公式] 型,也即是 [公式] 型。无穷小量,我们并不能精确把握。它是结果量还是状态量,是定量还是变量?不清不楚。所以当涉及无穷小量计算时。计算出的斜率均为近似值,而非实际值!

无穷个微小偏差。会表现出线条宏观上的巨大改变。正如0.99999的无穷次方。最终也会趋近于0。

☛其次,面试顶尖企业。简历还得具备确定量性。比如在校绩点排名等。增加可信度。

如上图,[公式] 处斜率 [公式] ,导数是不存在的,因为无穷并不是一个确定的量。

此处请思考悖论2:☠

既然可微可理解为“以直代曲”,那么在“导数” [公式] 的点,也有一段直线可以表达曲线,那该点岂不是可微的么?

学长释疑:✍

可微,是人为规定的,通过计算来判断微分各变量之间的精确定量关系[公式] ,若 [公式] , [公式] 与 [公式] 的定量关系无法在数值上精确判断,故不可微。若将该图像转角 [公式] ,则 [公式] ,则可微。

总结:一元函数的可导与可微等价,可通俗的认为二者均表示曲线连续且光滑,且切线无竖直情况。

2.2 二元可偏导与可微

[公式]

学长灵魂之问:一元函数可导与可微等价,二元函数咋就不行了呢?

这是因为,一元函数的可导和可微均为一元属性而二元函数可偏导是一元属性,而可微却是二元属性。一元属性的偏导存在无法推出二元属性的可微。

我们先看看,可微是在说什么?

二元函数在某点可微,表示的是该点处的曲面,可由一个不垂直于 [公式] 面的微小切平面代表。

方块虽小,但意义重大

我们将该切平面放大,再放大!来看看这个切平面是怎么得来的,是如何以平面代曲面的。

微分平面:我是谁?我从哪儿来?

一元中,可微曲线的以直代曲,是小段切线代替局部曲线。而切线的构成,则是将 [公式] 中的 [公式] , [公式] 放大成 [公式] 和 [公式] ,变成 [公式]

二元中,可微曲面的以平面代曲面,是小面积的切平面代替局部曲面。切平面,又可以看做是该点切线在该平面内旋转一周得到(即线动成面)。这些各向切线的斜率就是该点处的无数个方向导数。如下图。

一根切线,转成一个微小的切平面

若切平面不垂直于 [公式] 面,可认为该点处可微。(切面垂直于[公式] 面时,导数不存在,类似于一元的理解)

那可偏导又在说什么?

说的是曲面上一点处,平行于 [公式] 轴、 [公式] 轴的两个方向导数存在。

对于可偏导-可微的辩证关系,可如下理解:”两个线属性存在,并不能推出一个可微的面属性!”——煜神语录。

因为面属性的可微要求从各个方向趋近,而偏导只有两个方向。若用 [公式] 代替 [公式] ,那这就,草率了啊!

按这个思路,举个图形反例,见下:

《生化危机》中保护伞公司的logo示意图

图中雨伞取1,2,3,4面合并为某一曲面,伞柄为Z轴向,假定两条黄虚线为x/y轴向。显然,伞尖处可偏导,但伞尖处不可微!

三、一阶偏导数连续与可微

灵魂之问2:为什么一阶偏导数连续,能推可微?反之则不成立?

上文说了一个道理,某点切平面可由共面的各方向导数构成。

类似的,某点切平面也可由共面的各连续偏导数构成。

以偏导数为毛线,织毛衣,织出一个微平面

二者都可以构成那个切平面,来代表微曲面,只是形式不同而已。故一阶偏导连续,可推可微。

那可微为什么不能推出偏导连续?

把握二元曲面概念前,先弱化到一元曲线情景,曲线可微 [公式] 曲线光滑且连续(排除尖点),一阶导不连续。

则 [公式] 不存在,曲线为震荡函数!

这个结论何以成立?

煜神常在群里说的一个知识点是:若间断,则只有震荡间断点可能有原函数。那么 [公式] 出现间断,必定是震荡函数!

P.S. 上句高能,请谨慎理解)

下面引出著名的震荡曲线:

[公式]

[公式]

感受震荡函数在原点附近的无穷魅力!

kaysen的视频
 · 3678 播放

[公式]

[公式] ,无穷warning!

[公式] 可微,导数不连续。

我们将该曲线绕y轴旋转一周,将x,y同质化,得到二元震荡曲面,类似水波纹中心点的形态!函数式为:

[公式]

[公式]

上述二元震荡函数图像,可以近似作涟漪观想

在 [公式] 点, [公式] 显然可微(存在一个水平的切平面),但在 [公式] 点附近偏导不连续,存在无穷多个趋近竖直的切平面(由一元震荡函数在原点附近的“竖直”切线旋转而成)。无穷warning再次发生!

此处请思考悖论3:☠

既然上述函数在 [公式] 点可微,且有一个水平的微平面。那么微平面又可由连续的一阶偏导所构成,这样一来不就表明函数就在 [公式] 点处一阶偏导连续了么?

学长释疑:✍

两个角度梳理,数理和极限本质!

First,先数理逻辑,

可微性的判别式为

[公式]

其中, [公式]

意思是,全增量(二元函数值的实际差值)与全微分(以直代曲下全增量的近似值)要足够接近到误差可以忽略不计。用上式计算[公式]点处,判别式值为0,推出可微。

一阶偏导,计算如下

[公式]

[公式]

后式仍震个不停,在原点处不连续。所以,可微推不出一阶偏导连续。

Second,极限本质角度!

该函数在[公式]点可微,是根据约定俗成的可微定义,计算出的近似结果。你可以认为原点处存在一个微平面,但实际上,它是极限思想制造出的幻象!

除了[公式] 点,周围任意方向都是震荡不止的原函数,暗流汹涌。只是越接近0,看上去越平静,故原点邻域内,可近似认为那块儿是个平面,也可微。

在振幅无穷小的[公式] 点周围,一阶偏导由于震荡,存在无穷多个无穷大的偏导值。

它们近在咫尺,又远在天涯。间断的不清不楚,不明不白。

一阶偏导的图像,类似上海外滩-纽约曼哈顿的摩天大楼

至此,概念辩证End!

看了文章,再来回忆下这几组概念的辩证关系,是否能理解的更深刻一些?

为您推荐

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *