给我空间、时间和对数，我就能创造出宇宙。
——伽利略
别莱利曼的《趣味代数学》里说，代数有七种运算，那就是加减乘除以及乘方、开方和对数。而我认为其中最奇妙的是对数。为什么？因为这是唯一一种我们确切知道发明人的运算。而且，虽然今天我们知道对数是指数运算的逆运算，或者说这两种函数互为反函数，但在历史上却是在发明对数后过了些年人们才意识到的。
利用对数定义和自然数的唯一分解定理，可以证明大多数的对数运算结果是无理数，比如 就是一例。这和证明根号 是无理数没有什么不同，甚至还简单些，下面就是证明过程：
设 是有理数，等于 ，其中 、 都是正整数，则根据对数的定义，，即 。等式左边肯定有因子 ，而右边没有，由此产生矛盾，原假设不成立。
对数是奇妙的，还在于它能把乘除变成加减，而加减比乘除方便得多。设想某个性质“良好”的函数 在定义域内满足 ，则这个 就是对数函数。大家可以想一想到底怎么个“良好”。历史上有人据此说对数延长了天文学家的生命。今天我们虽然不必靠对数提高计算速度，而且计算对数和反对数也需要时间开销，但对数依然重要。因为对数可以把取值范围很大的量急剧缩小到一个很小的范围，所以在衡量地震能量、天体亮度、放大电路的放大倍数等方面非常有用。说到这里有个笑话：有人说疼痛分为12个等级，第1级是最轻微的蚊虫叮咬的疼痛，第12级是女人分娩时的疼痛（感谢天下所有伟大的母亲），结果有人问第13级疼痛是什么？回答是女人分娩时被蚊子咬了一下。你能感觉到这个笑话的荒诞之处吗？如果能的话，那是不是对于对数又有了一点直观上的了解？
另外我们知道，大多数幂函数的不定积分结果还是幂函数，但 的不定积分却是对数函数，这不也是很奇妙的事情吗？根据这一点，可以证明调和级数是发散的，而且是发散得非常慢的一种。另外这也导致 、 等等的不定积分结果也都含有对数。
正因为对数由 积分得来，所以在航天领域中著名的齐奥尔科夫斯基公式中，就包含着对数：
等式左边是火箭最终速度， 是火箭喷射物相对于火箭的速度， 和 分别是火箭发动机开始工作和结束时的质量，一般来说， 比 大很多。在 1982 年出版的漆安慎、杜婵英两位老师合著教材《力学基础》里提到，这二者的比例已经达到 以上。由此可见，如果火箭的有效载荷（即火箭自重和需要携带的物品重量，是 的一部分）质量增加一点点，要想使最终的速度不变，就要极大增加燃料的质量。看到这里，大家应该明白《三体》里的维德为什么要拒绝程心带上种子的要求了吧。我上学的时候还没有《三体》这本书，但是我记得小时候看过一部科教片（那时候经常在播放正片前加映科教片、记录片，有时电视里也放），里面提到我国第一颗人造卫星东方红一号质量（重量）多大多大，说这很了不起，我当时并不懂，后来学到这个公式才明白。
对数函数还经常出现在人们意想不到的对方，比如素数分布。我们知道随着 的增加，小于 的素数数量（一般记做 ）虽然也在增长，但是增长得越来越慢，那么到底有多慢呢？用 除以 ，大约就等于 的某个对数的倒数。这是数学里一条著名的“近似成立”的定理。下面就是潘承洞先生有关这个问题的一本书，希望有余力的读者能读一读。
关于对数函数，本文就介绍到这里。
