三角函数是中学数学学习的重点、难点之一。有同学数学学习本来还不错，但从三角函数开始情况变得不再乐观，学习开始发懵，感觉到数学学习力不从心，学习成绩明显下滑：要么概念不能熟练掌握、不好理解；要么觉得公式太多，没办法背熟、记全；要么三角函数特殊角的数值大小、正负记不牢，容易混淆。因而，三角函数成为中学数学学习上的拦路虎，甚至成为部分学生的噩梦。
下面，以平面直角坐标系作为基础，从基本概念开始介绍，希望能够降低三角函数的学习难度，帮助大家更快更好地掌握三角函数。
一、 准备知识
1、 平面直角坐标系
如图1所示，建立平面直角坐标系xOy，坐标平面被x轴和y轴分割成四个部分，分别称做第一象限、第二象限、第三象限及第四象限。
图1平面直角坐标系
2、 角度正、负规定
以平面直角坐标系原点O为圆心，做半径为r的圆，半径OA与x轴的夹角记为α，如图2所示。
图2
α角大小的变化，可以看做是A点以r为半径绕原点O转动所致，A点转动的起始位置在x轴上。
规定：从x轴指向半径OA，逆时针时α角为正值，顺时针时α角为负值。如图3所示，α=45度或者-315度；如图4所示，α=180度或者-180度。
图3
图4
3、 角度单位：弧度（rad）
大家都知道，角度的常用单位是度，转一圈是360度，平角是180度，直角是90度。
俗话说入乡随俗，到哪道山唱什么歌。在数学、物理等学科，角度的单位一般不再用度，而是用弧度。弧度的英文词汇是radian，缩写成rad，不过人们习惯弧度的单位省略不写。
（1）弧度的定义：弧度制指对于一个圆，用弧长l与半径r之比来度量对应圆心角α角度的方式，如图5所示。
图5
（2）弧度与度的换算
根据弧度定义，等于半径长的圆弧所对的圆心角是1弧度；一个圆周长是2πr，其圆心角就是2π弧度，简称2π。弧度与度的换算关系如下：
弧度的精髓就在于它是一个与圆半径无关的量，从而大大简化了有关公式及运算。
4、 半径OA的投影
如图6所示，对于锐角α，A点位于第一象限，半径OA在x轴上的的投影为OB，长度记为x；半径OA在y轴上的的投影为OC，长度记为y，则三角形OBA构成直角三角形。
图6
二、 三角函数的基本定义
在直角三角形OBA中，直边x、y及斜边r与角α的基本关系有六种：正弦函数，余弦函数，正切函数，余切函数，正割函数，余割函数，常用的是前三种函数。
这六种函数的定义如下：
1、 正弦函数
在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比值，称做α角的正弦函数，简称α角的正弦，记作sinα（sin是正弦一词的英语词汇sine的缩写），即
从图6上可以看出，当α=0时， y=0，sinα=0，最小；当α=90度时，y=r，sinα=1，最大；所以sinα的取值范围有：0≤sinα≤1。
2、 余弦函数
在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比值，称做α角的余弦函数，简称α角的余弦，记作cosα（cos是余弦一词的英语词汇cosine的缩写），即
从图6上可以看出，当α=0时，x=r，cosα=1，最大；当α=90度时，x=0，cosα=0，最小；所以cosα的取值范围有：0≤cosα≤1。
3、 正切函数
在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比值，称做α角的正切函数，简称α角的正切，记作tanα或tgα（tan、tg都是正切一词的英语词汇tangent的缩写），即
考虑到正弦函数、余弦函数的定义，得知
从图6上可以看出，当α=0时，x=r，y=0，tanα=0，最小；当α=90度时，x=0，y=r，tanα趋于无穷大，发散；所以tanα的取值范围有：0≤tanα<∞。
4、 余切函数
在直角三角形中，锐角α的邻边与对边的比值，称做α角的余切函数，简称α角的余切，记作cotα或ctgα（cot、ctg都是余切一词的英语词汇Cotangent的缩写），即
从定义上可以看出，余切是正切的倒数，有
考虑到正弦函数、余弦函数的定义，得知
从图6上也可以看出，当α=0时，x=r，y=0，cotα趋于无穷大，发散；当α=90度时，x=0，y=r，cotα=0，最小；所以cotα的取值范围有：0≤cotα<∞。
5、 正割函数
正割函数是余弦函数的倒数，是在直角三角形中，锐角α的斜边与邻边的比值，记作secα（sec是正割一词的英语词汇Secant的缩写），即
从图6上可以看出，当α=0时，x=r，secα=1，最小；当α=90度时，x=0，secα趋于无穷大，发散；所以cosα的取值范围有：1≤secα<∞。
6、 余割函数
余割函数是正弦函数的倒数，是在直角三角形中，锐角α的斜边与对边的比值，记作cosecα（cosec是正割一词的英语词汇Cosecant的缩写），即
从图6上可以看出，当α=0时， y=0，cosecα趋于无穷大，发散=0；当α=90度时，y=r，cosecα=1，最小；所以cosecα的取值范围有：1≤cosecα<∞。
三、 三角函数定义的扩展，诱导公式
上面有关三角函数的定义是对锐角而言的。其实，这个定义可以扩展到任意角度。
设任意角记为b，锐角记为α，则b角总归会化成如下形式之一：
b=2kπ±α，b=3π/2±α，b=π±α，b=π/2±α
其中k是A点转动的圈数。A点既可以逆时针转动，也可以顺时针转动，故k可正可负，有k=0, ±1, ±2,¼，即k∈Z。
1、 负角（β=-α）的三角函数，如图7所示。
图7
从图7可以看出，半径OA撇在x轴上的投影x撇与x重合，在y轴上的投影y撇是负值，大小等于y。则有诱导公式（一）
2、 β=2kπ+α的三角函数，如图8所示是k=2的情形。
图8
无论圆周上的A点绕O点转多少圈，只要终边OA处于同一位置，这些角的三角函数值不变。即诱导公式（二）
sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanα
cot (2kπ+α)= cotα
3、 β=π+α的三角函数，如图9所示。
图9
从图9可以看出，半径OA撇在x、y轴上的投影x撇、y撇均为负值，但其大小与半径OA的投影是一样的。则有诱导公式（三）
sin(π+α) ＝-sinα
cos(π+α)＝-cosα
tan(π+α)＝tanα
cot(π+α)＝cotα
4、 β=π/2+α的三角函数，如图10所示。
图10
从图10可以看出，半径OA撇在x轴上的投影x撇为负值，大小等于y； OA撇在y轴上的投影y撇是正值，大小等于x。则有诱导公式（四）
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
5、以上四组诱导公式是三角函数的基础公式，一定要根据所附图示熟练掌握。对于其余的b=2kπ-α，b=3π/2±α，b=π-α，b=π/2-α的三角函数可以由上面的四组诱导公式推导出来，不用死记硬背。
（1）诱导公式（五）：b=2kπ-α的三角函数
角度2kπ-α可以看做是2kπ+(-α)，联合使用公式（二）和（一），就可以得知
sin(2kπ-α)=sin(2kπ+(-α))=sin(-α)=-sinα
其余函数比葫芦画瓢既有
cos(2kπ-α)=cosα
tan(2kπ-α)=-tanα
cot(2kπ-α)=-cotα
（2）诱导公式（六）：b=π-α的三角函数。
依照b=2kπ-α的做法，由诱导公式（三）以此类推。
sin(π-α) ＝sinα
cos(π-α)＝-cosα
tan(π-α)＝-tanα
cot(π-α)＝-cotα
（3）诱导公式（七）：b=π/2-α的三角函数
依照b=2kπ-α的做法，由诱导公式（四）以此类推。
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)= sinα
tan(π/2-α)= cotα
cot(π/2-α)= tanα
（4）诱导公式（八）：b=3π/2±α的三角函数
b=3π/2±α看成是b=π+(π/2±α)，可以把π/2±α看做是锐角，就可以套用诱导公式（三），再用相应诱导公式（四）和（七）即可
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(3π/2-α) =-cosα
cos(3π/2-α) =-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)= tanα
从上面讨论可知，诱导公式中，α角不一定非为锐角不可，可以是任意角度。
四、 利用平面直角坐标系可以很直观地判断三角函数的正负、增减及奇偶性
1、三角函数的正负
（1） 在平面直角坐标系第一象限内，参考图11，OA的投影x、y皆为正。
图11
故根据定义，sinα、cosα、tanα、cotα的值皆为正。
（2） 在平面直角坐标系第二象限内，参考图12，OA的投影x为负、y为正。
图12
故sinα为正，cosα、tanα、cotα皆为负。
（3） 在平面直角坐标系第三象限内，参考图13，OA的投影x、y皆为负。
图13
故sinα、cosα为负，tanα、cotα为正。
（4） 在平面直角坐标系第四象限内，参考图14，OA的投影x为正、y为负。
图14
故cosα为正，sinα、tanα、cotα皆为负。
三角函数值正负规律总结如下（图15）：
正弦函数sinα一二象限正，三四象限负；
余弦函数sinα一四象限正，二三象限负；
正切、余切函数tanα、cotα一三象限正，二四象限负。
图15
