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一、洛必达(L'Hopital)法则
这里就不涉及到严格的极限的定义,因为高中数学的课本中没有讲到极限的定义。
先来讲一个简单的概念:不定式。
设我们有两个函数 和 ,若当 时,有 ,则称分式 为 型不定式;
同样地,若当 时, 有 并且 (这里的无穷大可正可负)则称分式 为 型不定式。
上面便是洛必达法则使用的前提条件,只有在满足条件时才能“洛”。
洛必达法则的内容如下,分为 型不定式和 型不定式。
定理1 ( 型不定式)若当 时, 为 型不定式, 和 存在,且 不是不定式,则 ;
定理2 ( 型不定式) 若当 时, 为 型不定式, 和 存在,且 不是不定式,则 。
要解释这个定理,只需要用到导数的定义。
(需要注意的是,在这里我用的字眼是“解释”而不是“证明”,希望大家不要有着“证明就可以用”的念头。)
先考虑定理1,根据导数的定义, 。
则 ,其中 ,又根据 ,代入后即可得到 ,即为所求结果。
再考虑定理2,当 时,若 ,则 ,记 , ,则 是 型不定式,对其应用定理1得:
,另一方面有 ,由此解得 ,也即 。
至此,便可以(不严谨地)说明上面的结论成立。
二、洛必达法则的小应用
举几个简单的小例子,来说明一下在高中的题目里,洛必达法则怎么用。
例1 画出函数 的图像。
解答 求导得 ,因此 在 递减,在 递增。
计算得 , ,接下来只需分析当 时 的取值。
,此时发现 和 都趋于无穷大,使用洛必达法则得:
,因此 。
例2 当 时,不等式 恒成立,求实数 的取值范围。
解答 分离参数得 ,令 ,其中 。
,令 , ,因此 在 单调递增, ,因此 , 在 单调递增。
要求 恒成立,因此 ,但当 时, ,此即为 型不定式。根据洛必达法则,有:
,因此 ,实数 的取值范围是 。
例3 当 时,不等式 恒成立,求实数 的取值范围。
解答 ,又 ,因此 。
当 时, ,实数 的取值范围是 。
甚至洛必达可以“洛”很多次,只要是不定式就可以“洛”,直到得到结果。
例4 求极限 。
解答 当 时, ,使用洛必达法则得:
,此时依旧得到的是不定式。
当 时, ,再次使用洛必达法则得:
,因此 。
三、洛必达能不能用?如何绕开洛必达法则?
其实我反复强调的是,高中数学没有极限的定义,上面的过程是不严谨的。
不同的省份改卷标准不一样,有的地方可能会给分,有的地方可能会酌情扣分,而有的地方甚至会一分都不给。
洛必达法则本来是个高等数学中非常有用的结论,但“洛必达”最后变成了一些高中生装逼用的词,遇到题目就“洛”,以为可以秒杀,但完全没有顾及到严谨性。
除此之外,许多高中生在不是不定式的情况下胡乱“洛”,最后得到一个完全错误的答案。结果这些人就开始到处问“为什么这题不能洛必达?”、“洛必达是不是错的?”。
事实上,在做题的过程中,完全可以绕开洛必达法则,达到相同的效果。
一般地说,在遇到恒成立问题时,将不等式进行分离后可以得到形如 的形式,其中 的临界值是 ,且 。那么很多人就会用洛必达法则,来求出 在 处的极限 。但这样做有必要吗?
若 ,则 ,令 ,则原不等式等价于 。我们尝试分析构造出来的这个函数。
当 时, ,一般地,要令我们只要让 在 以前单调递减,在 之后单调递增就行了。
也即 是 的极小值点,令 ,可解得 ,这个就和我们用洛必达法则得到的结果一样。
但如果 怎么办呢?可以再求一次导,再令 ,由此解得 ,就和多次应用洛必达法则一样。
应评论区要求,补充例题的做法。例如对于刚刚的第二道例题:
例2 当 时,不等式 恒成立,求实数 的取值范围。
解答 令 , ,注意到 。因此考虑求第一次导。
,此时令 ,解得 ,此即为边界值。
由 容易知道 在 单调递减,在 单调递增。
若 ,则 , 在 单调递增, ,满足条件;
若 ,则 在 递减,在 递增,任取 ,可以推出 ,此与 矛盾。
综上, 的取值范围是 。
由此看来,“洛必达法则”完全没有必要出现在题目里,要使用洛必达,其实等价于直接对构造出来的函数求多次导。
在做解答题时,可以先用洛必达法则猜出答案,但是在写过程的时候,还是要用分类讨论的办法,把讨论的过程写清楚。
顺便也提醒高中生,不要盲目寻求一些“秒杀”的办法,最后反而弄巧成拙。
作者:Dylaaan
来源:知乎