这里就不涉及到严格的极限的定义，因为高中数学的课本中没有讲到极限的定义。 先来讲一个简单的概念：不定式。 设我们有两个函数 和 ，若当 时，有 ，则称分式 为 型不定式； 同样地，若当 时， 有 并且 （这里的无穷大可正可负）则称分式 为 型不定式。 上面便是洛必达法则使用的前提条件，只有在满足条件时才能“洛”。 洛必达法则的内容如下，分为 型不定式和 型不定式。 定理1 （ 型不定式）若当 时， 为 型不定式， 和 存在，且 不是不定式，则 ； 定理2 （ 型不定式） 若当 时， 为 型不定式， 和 存在，且 不是不定式，则 。 要解释这个定理，只需要用到导数的定义。 （需要注意的是，在这里我用的字眼是“解释”而不是“证明”，希望大家不要有着“证明就可以用”的念头。） 先考虑定理1，根据导数的定义， 。 则 ，其中 ，又根据 ，代入后即可得到 ，即为所求结果。 再考虑定理2，当 时，若 ，则 ，记 ， ，则 是 型不定式，对其应用定理1得： ，另一方面有 ，由此解得 ，也即 。 至此，便可以（不严谨地）说明上面的结论成立。

二、洛必达法则的小应用

举几个简单的小例子，来说明一下在高中的题目里，洛必达法则怎么用。 例1 画出函数 的图像。 解答 求导得 ，因此 在 递减，在 递增。 计算得 ， ，接下来只需分析当 时 的取值。 ，此时发现 和 都趋于无穷大，使用洛必达法则得： ，因此 。

例2 当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。 解答 分离参数得 ，令 ，其中 。 ，令 ， ，因此 在 单调递增， ，因此 ， 在 单调递增。 要求 恒成立，因此 ，但当 时， ，此即为 型不定式。根据洛必达法则，有： ，因此 ，实数 的取值范围是 。 例3 当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。 解答 ，又 ，因此 。 当 时， ，实数 的取值范围是 。 甚至洛必达可以“洛”很多次，只要是不定式就可以“洛”，直到得到结果。 例4 求极限 。 解答 当 时， ，使用洛必达法则得： ，此时依旧得到的是不定式。 当 时， ，再次使用洛必达法则得： ，因此 。

三、洛必达能不能用？如何绕开洛必达法则？

其实我反复强调的是，高中数学没有极限的定义，上面的过程是不严谨的。 不同的省份改卷标准不一样，有的地方可能会给分，有的地方可能会酌情扣分，而有的地方甚至会一分都不给。 洛必达法则本来是个高等数学中非常有用的结论，但“洛必达”最后变成了一些高中生装逼用的词，遇到题目就“洛”，以为可以秒杀，但完全没有顾及到严谨性。 除此之外，许多高中生在不是不定式的情况下胡乱“洛”，最后得到一个完全错误的答案。结果这些人就开始到处问“为什么这题不能洛必达？”、“洛必达是不是错的？”。 事实上，在做题的过程中，完全可以绕开洛必达法则，达到相同的效果。 一般地说，在遇到恒成立问题时，将不等式进行分离后可以得到形如 的形式，其中 的临界值是 ，且 。那么很多人就会用洛必达法则，来求出 在 处的极限 。但这样做有必要吗？ 若 ，则 ，令 ，则原不等式等价于 。我们尝试分析构造出来的这个函数。 当 时， ，一般地，要令我们只要让 在 以前单调递减，在 之后单调递增就行了。 也即 是 的极小值点，令 ，可解得 ，这个就和我们用洛必达法则得到的结果一样。 但如果 怎么办呢？可以再求一次导，再令 ，由此解得 ，就和多次应用洛必达法则一样。 应评论区要求，补充例题的做法。例如对于刚刚的第二道例题： 例2 当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。 解答 令 ， ，注意到 。因此考虑求第一次导。 ，此时令 ，解得 ，此即为边界值。 由 容易知道 在 单调递减，在 单调递增。 若 ，则 ， 在 单调递增， ，满足条件； 若 ，则 在 递减，在 递增，任取 ，可以推出 ，此与 矛盾。 综上， 的取值范围是 。 由此看来，“洛必达法则”完全没有必要出现在题目里，要使用洛必达，其实等价于直接对构造出来的函数求多次导。 在做解答题时，可以先用洛必达法则猜出答案，但是在写过程的时候，还是要用分类讨论的办法，把讨论的过程写清楚。 顺便也提醒高中生，不要盲目寻求一些“秒杀”的办法，最后反而弄巧成拙。 作者：Dylaaan 来源：知乎