高中数学:空间几何体的表面积和体积

例1. 有一根长为5 cm,底面半径为1 cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕4圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为多少厘米?(精确到0.1 cm)

一、空间几何体的表面积

问题1:有一只蚂蚁从圆柱的下底面圆周上一点A出发,沿着圆柱侧面爬行一周,到达上底面圆周上一点B(线段AB是圆柱的一条母线),问蚂蚁爬行的最短路线是多长?

平面展开图:沿着多面体的某些棱将它们展开成平面图形,这个平面图形叫做该几何体的平面展开图。

(一)棱柱、棱锥、棱台的侧面积

1、直棱柱:侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱。其侧面展开图是一个矩形。

正棱柱:底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱。

◆S直棱柱侧=ch其中c为棱柱的底面周长,h直棱柱的高。

2、正棱锥

定义:如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的正投影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥。

性质:

(1)正棱锥的侧棱长相等。

(2)侧棱和底面所成的角相等。

棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的。

3、正棱台

定义:正棱锥被平行于底面的平面所截,截面与底面之间的部分叫做正棱台。

侧面展开图是由各个侧面组成的。

(二)、圆柱、圆锥、圆台的侧面积

把圆柱、圆锥、圆台的侧面沿着它们的一条母线剪开后展在平面上,展开图的面积就是它们的侧面积。

1、圆柱的侧面积

◆如果圆柱底面半径是r,周长是c,侧面母线长是l,那么它的侧面积是

2、圆锥的侧面积

◆如果圆锥底面半径是r,周长是c,侧面母线长是l,那么它的侧面积是

3、圆台的侧面积

二、柱锥台的体积公式

长方体的体积公式是什么?如:某长方体的长宽高分别是7cm,5cm,4cm,其体积为多少,即为多少个正方体?

1、祖暅原理

两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等。

2、柱体的体积公式

3、锥体的体积公式

4、台体的体积计算公式

◆柱体,锥体,台体之间的关系:

5、球体的体积公式与表面积公式

(1)利用祖暅原理可得

(2)利用极限的思想推导出球的表面积公式:S球面=4πR2

典型例题

例1. 有一根长为5 cm,底面半径为1 cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕4圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为多少厘米?(精确到0.1 cm)

例2. 如图是一个奖杯的三视图,(单位:cm)试计算这个奖杯的体积(精确到0.01cm3)。

例3. 一个圆柱形的锅炉,底面直径d=1m,高h=2.3m。求锅炉的表面积(保留2个有效数字)。

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