对数定义是什么?高中数学对数函数微课精讲+知识点+教案课件PPT+练习题

对数定义:

如果a的x次方等于N(a>0,且a不等于1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN。其中,a叫做对数的底数,N叫做真数。

知识点:

对数定义:

如果a的x次方等于N(a>0,且a不等于1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN。其中,a叫做对数的底数,N叫做真数。

注:

1.以10为底的对数叫做常用对数,并记为lg。

2.称以无理数e(e=2.71828...)为底的对数称为自然对数,并记为ln。

3.零没有对数。

4.在实数范围内,负数无对数。在复数范围内,负数是有对数的。

对数公式

对数函数定义

一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。

其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞)。它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。

对数函数性质

定义域求解:对数函数y=logax的定义域是{x丨x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx(2x-1)的定义域,需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0,得到x>1/2且x≠1,即其定义域为{x丨x>1/2且x≠1}

值域:实数集R,显然对数函数无界。

定点:函数图像恒过定点(1,0)。

单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数;

奇偶性:非奇非偶函数

周期性:不是周期函数

对称性:

最值:

零点:x=1

注意:负数和0没有对数。

两句经典话:底真同对数正,底真异对数负。

解释如下

也就是说:若y=logab (其中a>0,a≠1,b>0)当a>1,b>1时,y=logab>0;

当0<a<1,b>1时,y=logab<0;</a<1,b>

当a>1,0<b<1时,y=logab<0。< p=""></b<1时,y=logab<0。<>

教案:

 教材分析

本节课在已学对数函数的概念,接着研究对数函数的图像和性质,从而深化学生对对数函数的理解,并且了解较为全面的研究函数的方法,为以后在研究函数增长类型打下基础。另外,我们日常生活中的很多方面都涉及到了对数函数的知识,例如溶液酸碱度的测量,所以学习这一节具有很大的现实价值。

教学目标与核心素养

课程目标

1、掌握对数函数的图象和性质,培养学生实际应用函数的能力;

2、通过观察图象,分析、归纳、总结对数函数的性质;

3、在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.

数学学科素养

1.数学抽象:对数函数的图像与性质;

2.逻辑推理:图像平移问题;

3.数学运算:求函数的定义域与值域;

4.数据分析:利用对数函数的性质比较两个函数值的大小及解对数不等式;

5.数学建模:通过由抽象到具体,由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质.

 教学重难点

重点:对数函数的图象和性质;

难点:对底数的分类,如何由图象、解析式归纳对数函数的性质.

 课前准备

教学方法:以学生为主体,采用诱思探究式教学,精讲多练。

教学工具:多媒体。

 教学过程

一、 情景导入

请学生用三点画图法画图像,观察两个函数图像猜测对数函数有哪些性质?

要求:让学生自由发言,教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

 

二、 预习课本,引入新课

阅读课本132-133页,思考并完成以下问题

1. 对数函数的图象是什么,通过图象可观察到对数函数具有哪些性质?

2. 反函数的概念是什么?

要求:学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问题。

三、 新知探究

1.对数函数的图象及性质

[点睛] 底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”:当a>1时,对数函数的图象“上升”;当0<a<1时,对数函数的图象“下降”.

2.反函数

指数函数yax和对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数.

四、典例分析、举一反三

题型一    对数函数的图象

(3)从(2)的图中你发现了什么?

【答案】见解析

 

最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图③).

 

由图易知其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).

题型二   比较对数值的大小

例2 比较下列各组数中两个值的大小:

(1)log23.4,log28.5;

(2)log0.31.8,log0.32.7;

(3)loga5.1,loga5.9(a>0,且a≠1).

【答案】(1)  log23.4<log28.5 (2) log0.31.8>log0.32.7   (3)当a>1时,loga5.1<loga5.9;当0<a<1时,loga5.1>loga5.9.

【解析】(1)考察对数函数y=log2x,因为它的底数2>1,所以它在(0,+∞)上是增函数,于是log23.4<log28.5.

(2)考察对数函数y=log0.3x,因为它的底数0<0.3<1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是log0.31.8>log0.32.7.

(3)当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数,于是loga5.1<loga5.9;

当0<a<1时,y=logax在(0,+∞)上是减函数,于是loga5.1>loga5.9.

解题技巧:(比较对数值大小时常用的4种方法)

(1)同底的利用对数函数的单调性.

(2) 同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化.

(3) 底数和真数都不同,找中间量.

(4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.

跟踪训练二

1.比较下列各题中两个值的大小:

(1)lg 6,lg 8;      (2)log0.56,log0.54;

(3)log2与log2;  (4)log23与log54.

【答案】(1)lg 6<lg 8(2)log0.56<log 0.54(3)log2<log2(4)log23>log54.

【解析】(1)因为函数y=lg x在(0,+∞)上是增函数,且6<8,所以lg 6<lg 8.

(2)因为函数y=log0.5x在(0,+∞)上是减函数,且6>4,所以log0.56<log 0.54.

题型三   比较对数值的大小

解题技巧:(常见对数不等式的2种解法)

(1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论.(2)形如logaxb的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解.

跟踪训练三

1.已知loga(3a-1)恒为正,求a的取值范围.

题型四   有关对数型函数的值域与最值问题

例4 求下列函数的值域.

(1)y=log2(x2+4);(2)y=log (3+2xx2).

解题技巧:(对数型函数的值域与最值)

(1)求对数型函数的值域,一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解.

(2)求函数的值域时,一定要注意定义域对它的影响,结合函数的单调性求解,当函数中含有参数时,有时需讨论参数的取值.

跟踪训练四

1.已知f(x)=2+log3xx∈[1,9],求函数y=[f(x)]2f(x2)的最大值及此时x的值.

【答案】当x=3时,y取得最大值,为13.

【解析】y=[f(x)]2f(x2)=(2+log3x)2+log3x2+2=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3.

f(x)的定义域为[1,9],

y=[f(x)]2f(x2)中,x必须满足1≤x2≤9,1≤x≤9,

∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1,∴6≤y≤13.

∴当x=3时,y取得最大值,为13.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

 

六、板书设计

 

七、作业

课本140页习题4.4

 教学反思

本节通过运用对数函数的图像及应用解决相关问题,侧重用实操,培养学生的逻辑思维能力,提高学生的数学素养.

课件:

练习:

1、 函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+4)=,且当x∈[2,10)时,f(x)=log2(x-1),则f(2010)+f(2011)的值为(  )

A、 -2

B、 -1

C、 1

D、 2

2、——————

3、 函数g(x)=log2(x>0),关于方程|g(x)|2+m|g(x)|+2m+3=0有三个不同实数解,则实数m的取值范围为______

4、对于函数y=f(x),若存在区间[a,b],当x∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0),则称y=f(x)为k倍值函数,若f(x)=lnx+2x是k倍值函数,则实数k的取值范围是_____

5、函数f(x)=ln()的值域为______

为您推荐