有灵魂的数学老师：中考数学压轴题道有多难？

我教过的许多学生，学了蛮多年数学的同学，少有能够知道如何进行系统尝试进行解题。所以更多时候解题感觉像灵感一样，有时候看了能做，有时候等了许久还是不出来。之前写了关于如何解题的系统思维方法，不过只懂得方法而不执行是远远不够的。

所以，以中考压轴题为题材，以理论结合实践进行介绍，希望大家能在自己的解题过程中刻意训练自己的思维。总得来说：

1、分析题目，列出已知条件，及其你能想到的相关知识点（训练知识点连接，后期对知识熟悉了可以不用手动列出）；确定、理解未知因素，要求解或求证的目标。

2、通过思维发散（试错）和逆向搜索两种方式寻找已知到未知目标的路径。在这个过程中可以大胆猜想，小心求证；甚至可以通过去掉一些苛刻的条件或考虑一些特殊的情况，简化问题进行路径探索，分析、确定一条可行路径之后在进行有条有理的解答。

3、在平时的练习中，需要复盘解题路径的步骤，以及花一些时间从不同维度去寻找看是否有其他的路径，找出最优路径。这样知识点的连接得以最大程度加强，且能够提升解答效率。

接下来，我将通过“中考加油站”分享解题的系统思维训练方法，一方面分享训练方法的关键；另一方面，希望帮助大家建立自己的知识联系。

读完这个问题，你可以先尝试按照这个思维过程自己试一试。

第一步：分析已知条件，列出相关知识点或推导的相关结论，明确求解问题/目标。

抛物线 $y=ax^{2}+bx-4$ 过两个确定的点A（-3，0），B（5，-4），大部分同学能都反应出来，这个二次函数是一个确定的二次函数，通过代入法，解一个方程组，能够确定二次函数的表达式:

$y=\frac{1}{6}x^{2}-\frac{5}{6}x-4$

这种问题第一个问题就是送分的，这种问题第一个如果计算错了，后面的计算基本上没戏了，都会错。

所以不要忘记检验一下，将点A带入进行检验：

$0=\frac{1}{6}\times(-3)^{2}-\frac{5}{6}\times(-3)-4=\frac{9}{6}+\frac{15}{6}-4=\frac{24}{6}-4$

是正确的，如果还不放心，可以在将另外一点B带入检验。

很多人都能做，但是得不了分，最主要的原因就是自己解题习惯和专注力不好，还没有检验的习惯。

看第二个问题，然后关于这个问题列出已知条件及其相关知识点，第2个问题是一个平面几何问题，要证明：线段AB平分 $\angle$ CAO，也就是下图中的 $\angle$ 1= $\angle$ 2（角平分线的定义）：

我们已经知道什么条件？

通过二次函数解析式确定，我们能够确定的二次函数与X轴和Y轴的交点全部是确定的，求得点C坐标为（0，-4）。因为点B（5，-4），如果你从坐标不能察觉BC平行X轴的话？那么你得从图形大胆猜测是否平行，在进行求证。对称轴 $x_{0}=-\frac{b}{2a}=\frac{5}{2}$ ，也是确定的，但目前这个问题用不到，韦达定理也用不到，不过这些知识点属于二次函数最基础的知识点了，需要大脑能够随时召唤出来。

第二步：逆向搜索法寻找路径

对于证明题比较容易的一种方式，就是假设这个结论成立 $\angle$ 1= $\angle$ 2。然后看上面面这个图，你能得出哪些结论？这个就是我说的“逆向搜索”。

假设 $\angle$ 1= $\angle$ 2。看这个下面图形，因为点C（0，-4）与点B（5，-4），他们纵坐标相同都为-4，所以 $L_{BC}$ （表示线段BC所在的直线）： $y=-4$ 与Y轴垂直，即 $L_{BC}$ //X轴 $\Leftrightarrow$ $\angle$ 1= $\angle$ B（两直线平行，内错角相等；平行线判定定理）也就是说在假设 $\angle$ 1= $\angle$ 2时，得到 $\angle$ 2= $\angle$ B相等， $\triangle$ ABC是等腰三角形。

所以反过来，只需要证明， $\triangle$ ABC是等腰三角形，就能得到我们的结论： $\angle$ 1= $\angle$ 2，即线段AB平分 $\angle$ CAO。

因为点A、B、C都是确定的，所以根据任意两点的距离公式可以求得两点的距离。

两点 $A(x_{A},y_{A})、B（x_{B},y_{B}）$ 的距离公式： $|AB|=\sqrt{（x_{A}-x_{B})^2+(y_{A}-x_{B})^2}$ （可由勾股定理推导）。

而这里AC、BC的长度比较特别，AC使用勾股定理求得，BC使用横坐标相减得到。

因为要证明的结论一定是正确的，所以由结论推出的相关结论也一定是正确的。这样我们就通过“逆向搜索”的方法找到一条可行的路径。

从正向来看：

（1）由计算|AC|与|BC|的长度 $\Rightarrow\left| AC \right|=\left| BC \right|$ ,证明 $\triangle$ ABC是等腰三角形 $\Rightarrow$ $\angle$ 2= $\angle$ B。（等腰三角形的定义）

（2） $L_{BC}$ //X轴 $\Rightarrow$ $\angle$ 1= $\angle$ B。（平行线的性质）

（3）综上两步，求证结论：1= $\angle$ 2，即线段AB平分 $\angle$ CAO。

第三步：从其他维度再看看，是否有其他路径，比较不同路径寻找最优：

我们通过二次函数确定，我们得到知道： $L_{BC}$ //X轴，因为要证明角度相等关系，1= $\angle$ 2，其实就是把 $\triangle$ ABC按照直线AB对折，且点C一定落到X轴上。

所以在平面图形中，有哪些平面图形能够对折成三角形呢？

肯定是一个四边形，正方形可以，平行四边形是否也可以？只是平行四边形肯定不行，但是边相等的平行四边形——菱形则可以，长方形也不行。

$\angle$ CAO明显不等于90度，所以只有菱形了。这个时候我们就可以构造一个菱形，也就是邻边相等（即四边相等）的平行四边形。

所以这个时候我们才会想到去计算|AC|与|BC|的长度 $\Rightarrow\left| AC \right|=\left| BC \right|$ 。

要构造平行四边形，则过点B做平行于AC的线段交X轴于点D，四边形ABCD是平行四边形，且邻边相等，所以也是菱形。用菱形的性质：对角线平分对角也就证明了结论。

复盘下步骤：

（1）做平行与AC的线段BD，结合BC平行X轴，得到平行四边形ABCD；

（2）计算|AC|与|BC|的长度 $\Rightarrow\left| AC \right|=\left| BC \right|$ ，得到四边形ABCD是菱形；

（3）由菱形的性质，角平分线平分内角，结论得证。

这两种解题路径通过逆向分析，只是看待的维度不同，进一步引导我们去寻找达成目标的条件，所涉及的知识点是不同的，路径1是用到了平行线性质和等腰三角形的概念，等式的传递性；路径2则是构造了菱形，应用菱形本身的性质。但其实这些知识都具有一定的相关性：

菱形关于对角线对称，是邻边相等的平行四边形，且由两个等腰三角形组成，还能想到对角线平分对角，形成4组相等的角，且两条对角线的交点是对角线的中点，对角线垂直等。

这样我们对这些相关知识点的联系都得到了进一步的加强稳固。

第三问，就用到了二次函数的对称轴，要在对称轴上找一个点M，使得三角形ABM是直角三角形，并且AB是直角边，也就是说点A是垂点或者点B是垂点，即 $MA\bot AB$ 或 $MB\bot AB$ 。问是否存在，存在要求出坐标，不存在要说明理由。

同样分析一下，已知条件是点M在对称轴上，所以M的坐标（ $\frac{5}{2}$ ，m）表示。我们可以先想像一下，当点M从X轴（点F）向上面无穷远处移动时，直线AM会逼近垂直X轴的直线 $L_{A}$ ， $\angle MAB$ 逼近一个钝角，所以反过来，当点M从无穷远向下移动，靠近X轴点F的过程，一定有一个点M使得 $MA\bot AB$ 。

同理在点F下方移动到负无穷远时，一定也有一个点M使得得 $MB\bot AB$ 。请想一想为什么不是 $MA\bot AB$ ？

因为就算点M在X轴下面不论多远，MA所在直线逼近 $L_{A}$ ， $\angle MAB$ 逼近一个锐角，所以是不可能垂直于A点。同理M点在X轴上方时，也不能垂直于B点。

当然这些分析在大脑中进行就好了，不用写在解题过程中，但动点问题，移动的这个过程思维非常重要，能够让我们对问题理解更加深刻。

对于这类是否存在的题。可以类似看成求证题，假设存在，得到一个条件，与其他已知条件进行求解，能够求解出来，则存在，求解不出来，可以说不存在。当然前提是你的方法是正确的。

所以，通过我们的分析，存在两种情况，这里我主要分析在X轴上方的情况。大家可以考虑在下方的情况如何快速求解。因为点M横坐标是知道的，只需要求纵坐标m即可，也就是上面MF的长度。

我们看到在三角形ABM中有很多直角三角形，例如 $Rt\triangle AME、Rt\triangle AMF、Rt\triangle AFE$ 。这个时候可以同相似三角形进行求解，当然如果你熟悉射影定理，也可以直接使用：

$|AF|^{2}=|MF|·|EF|$

点A是确定的，点E也是确定的，用（ $\frac{5}{2}$ ，e）表示，并且点E在直线AB上，通过定点A（-3，0）、B（-4，5）使用待定系数法 $L_{AB}：y=kx+b$ 求出直线AB的表达式 $L_{AB}：y=-5x-15$ ，点E（ $\frac{5}{2}$ ，e）在直线AB上，在就能得出e= $-\frac{55}{2}$ 。