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概率论:什么是贝特朗悖论?为什么会有?

和所有的数学分支类似,概率论的也是经历了从直觉到严格的过程。其中的一个转折点就是贝特朗悖论。 1 古典派 古典派也就是高中时候学的概率论。它的核心哲学思想是:不充分理由原则。 1.1 不充分理由原则 雅各布·伯努利(1654-1705):
提出,如果因为无知,使得我们没有办法判断哪一个结果会比另外一个结果更容易出现,那么应该给予它们相同的概率。比如:
  • 硬币:由于不清楚硬币哪一面更容易出现,那么应该给予正面、反面相同的概率,即为[公式]
  • 骰子:我们不清楚骰子哪一面更容易出现,那么应该给予每一面相同的概率,即为[公式]
此称为 不充分理由原则(Insufficient Reason Principle)。 1.2 古典概率 以不充分理由原则为基础,经由皮埃尔-西蒙·拉普拉斯侯爵(1749-1827):
之手,确立了 古典概率 的定义,即: [公式] 整个19世纪的人们都广泛接受这个定义,并发展出了一系列的定义和定理。 2 贝特朗悖论 法国数学家贝特朗(也翻译为“伯特兰”)于1888年在他的著作《Calcul des probabilités》中提到了这个悖论:
原始的悖论比较复杂,下面我们给出一个等价的形式。 2.1 锯木厂的木头 :有一家锯木厂,它会把木头切成不同的木方,木方的截面都是正方形,边长会在[公式] 尺之间随机浮动:
那么根据古典概率,该锯木厂生产出来的正方形边长在[公式] 尺之间的概率为多少? :根据不充分理由原则,因为不知道哪一种边长更容易出现,那么就应该给予它们相同的概率,也就是说[公式] 之间每一种长度都是等可能的。而[公式] 包含了一半的可能长度:
所以,正方形边长在[公式] 尺之间的概率为: [公式] 2.2 悖论的产生 刚才的问题还可以转为面积来解答,[公式] 尺边长的正方形面积为[公式] 平方尺,[公式]尺边长的正方形面积为[公式] 平方尺:
同样,根据不充分理由原则,[公式] 平方尺之间的正方面面积是等可能的,那么正方形面积在[公式] 平方尺之间的概率为[公式]
选择对“长度”还是对“面积”运用不充分理由原则,同一个问题会得到了不同的概率:
那么哪个是对的? 3 现代概率论 3.1 反思 19世纪不少人相信只要找到适当的等概率,就可以得到问题的唯一解。直到贝特朗悖论出现,人们才开始反思古典概率中的不合理之处:“等概率”的描述实在是太模糊了,存在歧义。 在后来数学家的不断努力中,概率论变得越来越严谨,大学中学习的公理化的现代概率论就是集大成者。 下面用现代的概率论重新来审视贝特朗悖论,你会发现其实根本没有矛盾之处。 3.2 重解贝特朗悖论 :有一家锯木厂,它会把木头切成不同的木方,木方的截面都是正方形,边长会在[公式]尺之间随机浮动:
也就是说木方的边长是一个随机变量[公式] ,符合均匀分布(均匀分布就是等概率的意思): [公式] 那么: [公式] (1)该锯木厂生产出来的正方形边长在[公式] 尺之间的概率为多少(其中[公式] )? [公式] (2)它的面积[公式] 又符合什么分布呢? :(1)记[公式] 的累积分布函数为[公式] ,其概率密度函数为[公式] ,因为[公式] ,所以: [公式] 那么要求的正方形边长在[公式] 尺之间的概率为: [公式] [公式] (2)假设[公式] 的累积分布函数为[公式] ,其概率密度函数为[公式] 。先来求[公式][公式][公式][公式] 求导就得到了概率密度函数,也就是得到了[公式] 的分布: [公式] (1)(2)两个问题回答下来,可见边长符合均匀分布时,面积并不符合均匀分布。 4 总结 贝特朗悖论产生的原因在于,古典概率中的“等概率”非常模糊:
  • 边长的分布是未知的,所以是等概率的
  • 面积的分布是未知的,所以是等概率的
进而导出了矛盾。现代概率论通过分布来描述边长的随机性后,这种模糊性消失了,贝特朗悖论中的矛盾也就不存在的。 同学们还可以试试假设面积符合均匀分布,试求一下边长符合什么分布。

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