42，可以写成 3 个整数的立方和！这是数学界的一大突破，由 MIT 和布里斯托大学的数学家共同发现，他们以 “生命、宇宙以及一切” 的网页标题，公布了这一成果。
人类第一次将 42 写成了 3 个整数的立方和！
昨天，有人在 MIT 数学系的网站上贴出一个等式，网页很简单，但没给出结果：
(-80538738812075974)^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3
等于 42
在推特上，菲尔兹奖得主高尔斯也转发了这个结果。
这是一个大新闻，因为至此，下面这句话成为了定理：
除了 9n±4 型自然数外，所有 100 以内的自然数都能写成三个整数的立方和。
是的，在此之前，42 是 100 以内最后一个尚未找到立方和的整数解的自然数。现在，这个解也找到了。
找到这个等式的数学家是来自布里斯托大学的 Andrew Booker 和来自麻省理工学院的 Andrew Sutherland。
今年 3 月， Andrew Booker 找到了 33 的立方和整数解，同样引起数学界轰动。昨天，Andrew Booker 穿着印有 “42” 的 T 恤接受采访，解释了他们的研究过程。
在被问到 “你们解决这个问题后，有没有兴奋得跳起来” 时，Booker 说：“我这次倒是没有跳起来，但是你知道，解决一个三、四十年来一直悬而未决的问题，实在是令人很满足！当然，这个论题本身还没有解决，下一个数字是 114……”
有意思的是，两位数学家公布这一结果的网页标题是 “生命、宇宙以及一切”(Life, the Universe and Everything)。
在道格拉斯・亚当斯著名的《银河系漫游指南》系列中，42 是 “生命、宇宙以及一切的终极答案” 。
茫茫宇宙中，一个 “具有超级智慧的泛维度种族” 对关于生命意义的无休止的争论感到厌烦了，他们决定一劳永逸地解决这个问题。他们建造了宇宙一切空间和时间中第二强大的电脑 “沉思”，向它寻求 “关于生命、宇宙，以及一切的终极答案”。
整整 750 万年后，“沉思” 给出了答案 —42。
面对这个玄妙的答案，泛维度种族需要回过头先弄明白生命宇宙以及一切的终极问题，方能理解答案。但 “沉思” 不能胜任此项艰巨的任务，它说：“你们需要一台能够计算出这个终极答案的电脑，这台电脑具有无限和微妙的复杂性，以至于有机生命本身将会成为操作母体的一部分。你们自身也会以一种新的生命形式投入到这台电脑中，去操控为期 1000 万年的程序。我将会为你们设计出这台电脑，并且我已为它取好名字。它将会被称为…… 地球。”
痴迷、痴狂！人类寻找三立方数和简史
人类为什么对这样一个等式如此着迷呢？
这个问题至少可以追溯到 1825 年，数学家想知道，如果给定整数 K，是否存在整数 X、Y、Z，满足：
X^3 + Y^3 + Z^3 = K。
数论领域下有一大分支叫 “丢番图方程”：
x^3+y^3+z^3=k 是否存在整数解是丢番图方程中的一个问题。
丢番图 (Diophantine) 是一位古希腊的大数学家，被认为是第一位懂得使用符号代表数来研究问题的人。
其中丢番图最著名的事迹可能就是他的墓志铭 —— 曾经连续多年出现在各地中小学生的寒假作业扩展训练上：
坟中安葬着丢番图。
多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。
上帝给予的童年占六分之一，
又过十二分之一，两颊长胡，
再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。
五年之后天赐贵子，
可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。
悲伤只有用数论的研究去弥补，
又过四年，他也走完了人生的旅途。
回到丢番图方程，由于立方数模 9 同余 0、1 或 - 1，三立方数和模 9 不可能同余 4 或 5，因而这是整数解存在的一个必要条件。因此 9k+4 或 9k+5 这种形式的整数不能写成三个立方数之和。然而，对于该条件是否同时为充分条件目前仍未有定论。
1992 年，牛津大学的 Roger Heath-Brown 提出猜想，即其它所有整数都可以用无穷多种不同的方式写成三个立方数的和。在那以后，数学家们似乎已经被 Heath-Brown 的论点所说服，然而，找到把任何特定的数写成三个立方数之和的方法仍然是一个难题。
2000 年，哈佛大学的 Noam Elkies 提出了一个实用的算法来寻找这类解。Elkies 和其他数学家使用类似的方法，成功地为许多较小的整数找到了立方和的整数解。
2015 年，数学家 Tim Browning 录制了一段视频，解释了这个问题。在那个时候，只有 33、42 和 74 这三个小于 100 的整数尚未找到解。这段视频让更多的人注意到了这个问题，并带来了一系列的突破。
Tim Browning 的视频让更多数学家关注这个问题
受到这段视频的启发，几个月后，Sander Huisman 找到了 74 的立方和整数解:
Tim Browning 再次录制了一段关于 Huisman 解决 74 的视频。另一位数学家，即布里斯托大学的 Andrew Booker 看到了这段视频，决定解决这个问题。
他提出了一种新的算法，这种算法能更有效地找到一个特定数字的解。2019 年 2 月 27 日，Booker 公布了 33 的立方和整数解。
昨天，42 也被解决了！Andrew Sutherland 和 Andrew Booker 同时更新他们的主页，报告了 42 的立方和的整数解：
这意味着 100 以内的自然数的立方和的整数解全部找到！
1000 以内还没找到解的整数只剩下：114,165,390,579,627,633,732,906,921 和 975。
100 以内三立方和的非零解全表
最后，根据哆嗒数学网的整理，附上 100 以内三立方和的非零解全表（多种写法选取其中一个）：
1 = (-1)³ + 1³ + 1³
2 = 7³ + (-5)³ + (-6)³
3 = 1³ + 1³ + 1³
4 不可能
5 不可能
6 = (-1)³ + (-1)³ + 2³
7 = 104³ + 32³ + (-105)³
8 = (-1)³ + 1³ + 2³
9 = 217³ + (-52)³ + (-216)³
10 = 1³ + 1³ + 2³
11 = (-2)³ + (-2)³ + 3³
12 = 7³ + 10³ + (-11)³
13 不可能
14 不可能
15 = (-1)³ + 2³ + 2³
16 = (-511)³ + (-1609)³ + 1626³
17 = 1³ + 2³ + 2³
18 = (-1)³ + (-2)³ + 3³
19 = 19³ + (-14)³ + (-16)³
20 = 1³ + (-2)³ + 3³
21 = (-11)³ + (-14)³ + 16³
22 不可能
23 不可能
24 = (-2901096694)³ + (-15550555555)³ + 15584139827³
25 = (-1)³ + (-1)³ + 3³
26 = 297³ + 161³ + (-312)³
27 = (-1)³ + 1³ + 3³
28 = 14³ + 13³ + (-17)³
29 = 1³ + 1³ + 3³
30 = (-283059965)³ + (-2218888517)³ + 2220422932³
31 不可能
32 不可能
33 = 8866128975287528³ + (-8778405442862239)³ + (-2736111468807040)³
34 = (-1)³ + 2³ + 3³
35 = 14³ + (-8)³ + (-13)³
36 = 1³ + 2³ + 3³
37 = 50³ + 37³ + (-56)³
38 = 1³ + (-3)³ + 4³
39 = 117367³ + 134476³ + (-159380)³
40 不可能
41 不可能
42 = (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³
43 = 2³ + 2³ + 3³
44 = (-5)³ + (-7)³ + 8³
45 = 2³ + (-3)³ + 4³
46 = (-2)³ + 3³ + 3³
47 = 6³ + 7³ + (-8)³
48 = (-23)³ + (-26)³ + 31³
49 不可能
50 不可能
51 = 602³ + 659³ + (-796)³
52 = 23961292454³ + 60702901317³ + (-61922712865)³
53 = (-1)³ + 3³ + 3³
54 = (-7)³ + (-11)³ + 12³
55 = 1³ + 3³ + 3³
56 = (-11)³ + (-21)³ + 22³
57 = 1³ + (-2)³ + 4³
58 不可能
59 不可能
60 = (-1)³ + (-4)³ + 5³
61 = 845³ + 668³ + (-966)³
62 = 3³ + 3³ + 2³
63 = 7³ + (-4)³ + (-6)³
64 = (-1)³ + 1³ + 4³
65 = 91³ + 85³ + (-111)³
66 = 1³ + 1³ + 4³
67 不可能
68 不可能
69 = 2³ + (-4)³ + 5³
70 = 11³ + 20³ + (-21)³
71 = (-1)³ + 2³ + 4³
72 = 7³ + 9³ + (-10)³
73 = 1³ + 2³ + 4³
74 = (-284650292555885)³ + (66229832190556)³ + (283450105697727)³
75 = 4381159³ + 435203083³ + (-435203231)³
76 不可能
77 不可能
78 = 26³ + 53³ + (-55)³
79 = (-19)³ + (-33)³ + 35³
80 = 69241³ + 103532³ + (-112969)³
81 = 10³ + 17³ + (-18)³
82 = (-11)³ + (-11)³ + 14³
83 = (-2)³ + 3³ + 4³
84 = (-8241191)³ + (-41531726)³ + 41639611³
85 不可能
86 不可能
87 = (-1972)³ + (-4126)³ + 4271³
88 = 3³ + (-4)³ + 5³
89 = 6³ + 6³ + (-7)³
90 = (-1)³ + 3³ + 4³
91 = 364³ + 192³ + (-381)³
92 = 1³ + 3³ + 4³
93 = (-5)³ + (-5)³ + 7³
94 不可能
95 不可能
96 = 10853³ + 13139³ + (-15250)³
97 = (-1)³ + (-3)³ + 5³
98 = 14³ + 9³ + (-15)³
99 = 2³ + 3³ + 4³
100 = 7³ + (-3)³ + (-6)³
