洛必达法则计算极限为什么对于0/0型和∞/∞型生效？别的类型呢？

1 洛必达法则

洛必达法则（l'Hôpital's rule）是利用导数来计算具有不定型的极限的方法。这法则是由瑞士数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli）所发现的，因此也被叫作伯努利法则（Bernoulli's rule）。维基百科

不严格的说，洛必达法则就是在 型和 型时，有 。

可见，洛必达法则最犀利的是大大简化了极限运算。这种化繁为简的技术手段从来都是深受喜爱的。

这篇文章我们主要回答一下两个问题：

• 为什么洛必达法则对于 型和 型生效？
• 洛必达法则对于别的类型是否生效？

1.1 构造关键函数

我们令 ，为了阅读顺畅，这个函数我要多解释下。

对于一般我们接触的函数，比如 ，根据函数定义，这是一个 的映射：

而 是一个 的映射：

可以如下表示：

做出 点的割线：

割线的极限即是切线，大家可以感受一下：

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所以可以得出切线的斜率即导数为：

通过坐标轴的原点 连接 点，马同学把这个连线称为原点线：

通过构造关键函数 我们得到两个的结论：

• 原点线斜率为

根据洛必达法则： 。可见，构造关键函数之后，我们已经有了 和 ，剩下的就是看这两者什么时候极限相等了？

1.2 型

我们让 曲线可以经过 点：

分别做出割线和原点线：

容易观察到， 点越靠近原点，割线和原点线越接近：

可以动手试试：

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点和 点重合时，割线就是原点线：

点和 点重合时，割线斜率就是原点线斜率，即 。 根据割线的极限即切线，有 ，根据之前的结论有 ，所以 ，所以有 ，即洛必达法则。

需要说明一点：

可见，洛必达法则对 型可以生效。

1.3 型

在欧式几何中，两条线的斜率要相等，只有两种情况，重合或者平行。

这就是 型为什么适用于洛必达法则的原因，我们来一起推导一下。

首先 要换一下，必须得有 点：

画出割线和原点线:

当 时，割线和原点线趋向于平行：

顺便说一下，这里比较诡异的地方是，割线和原点线一直交于 点，但是当 时居然两者可以平行。其实我们可以说两条平行线交于无穷远点，至于无穷远点能否到达又是另外的问题了。

你也可以动手试试

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同样说明一下， 意味着是 型。

根据 型的推论的思路，洛必达法则对于 型也生效。

1.4 结论

所以洛必达法则生效的原因是：

• 型：割线和原点线重合
• 型：割线和原点线平行

2 扩展洛必达法则

这里就是要回答洛必达法则对于别的类型是否生效的问题。

2.1 洛必达法则总是有效的函数

令 ， ，可以用两种办法求极限：

• 约分：
• 洛必达法则：

根据第二种解法，意味着这两个函数总是适用洛必达法则。

我们构造 ，画出图像：

2.2 洛必达法则的扩展

所以，只要原点线和割线斜率相等，就可以运用洛必达法则，对洛必达法则的扩展让我们把它称为马同学法则吧：）

不过就实际应用来说，还是 型和 型最实用，但是好歹让马同学发明了一个马同学法则，希望可以像洛必达法则一样名垂千古。

作者：马同学
来源：知乎