函数与其渐近线到底能不能相交？

可以相交. 这里举一个水平渐近线(horizontal asymptote)的例子. 水平渐近线的定义如下：

假设 是一个在区间 的函数. 若对于所有的 都存在一个对应的 ，使得如果 ，则有 ，则 称为函数 的水平渐近线.

也就是说我们感兴趣的只是函数 在无穷远时的行为，在任何有限的区间内函数 的行为都无足轻重. 在图示中，函数 和 相交了不止一次，然而这仍然不会改变 是 的渐近线这一事实. 只要函数满足 , 那么 就是函数 的渐近线.

当然图中的函数可能是随便画的，下面举一个例子.

考虑函数 , 其中 . 下面证明该函数的渐近线 .

证明： 由于 ， , 根据夹逼定理， .

然而在Mathematica上画个图：

Plot[{Exp[-x]*Sin[10 x], Exp[-x], -Exp[-x]}, {x, 0, 5}, 
 PlotRange -> Full, PlotTheme -> "Detailed", GridLines -> None, 
 Axes -> True]

可以发现这个函数和0相交了无穷多次. 所以是可以的～