函数与其渐近线到底能不能相交？

时间： 2019-09-21

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作者：Bazinga

可以相交. 这里举一个水平渐近线(horizontal asymptote)的例子. 水平渐近线的定义如下：

假设 $f$ 是一个在区间 $(a,\infty)$ 的函数. 若对于所有的 $\epsilon>0$ 都存在一个对应的 $N$ ，使得如果 $x>N$ ，则有 $|f(x)-L|<\epsilon$ ，则 $L$ 称为函数 $f$ 的水平渐近线.

图示（来自Calculus Early Transcendentals ed8, Jame Stewart ）

也就是说我们感兴趣的只是函数 $f$ 在无穷远时的行为，在任何有限的区间内函数 $f$ 的行为都无足轻重. 在图示中，函数 $f$ 和 $L$ 相交了不止一次，然而这仍然不会改变 $L$ 是 $f$ 的渐近线这一事实. 只要函数满足 $\lim_{x \rightarrow \infty}{f(x)}=L$ , 那么 $L$ 就是函数 $f$ 的渐近线. 当然图中的函数可能是随便画的，下面举一个例子. 考虑函数 $f(x)=e^{-x}\mathbb{sin}(nx)$ , 其中 $n\in \mathbb{Z}$ . 下面证明该函数的渐近线 $L=0$ . 证明：由于 $-e^{-x}<e^{-x} \sin (n x)<e^{-x}$ ， $\lim _{x \rightarrow \infty} e^{-x}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(-e^{-x}\right)=0$ , 根据夹逼定理， $\lim _{x \rightarrow \infty} e^{-x} \sin (n x)=0$ . $\square$ 然而在Mathematica上画个图：

Plot[{Exp[-x]*Sin[10 x], Exp[-x], -Exp[-x]}, {x, 0, 5}, 
 PlotRange -> Full, PlotTheme -> "Detailed", GridLines -> None, 
 Axes -> True]

可以发现这个函数和0相交了无穷多次. 所以是可以的～

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函数与其渐近线到底能不能相交？

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